Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação real
Informações dadas:
- A incógnita é
(procuramos soluções reais). - A equação mistura polinômio em
( ) e exponencial ( ).
O objetivo é encontrar todos os valores reais deque satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Observação sobre a dificuldade e a estratégia que vou adotar (sem resolver ainda): a equação é transcendental (produto de potência de
por exponencial em
), logo não se resolve por manipulações algébricas elementares. Uma ferramenta adequada é a função de Lambert
, que resolve equações do tipo
. Vou transformar a equação até chegar a algo do tipo
, aplicar
e tratar cuidadosamente os sinais porque há uma potência par (
) que permite múltiplas soluções reais. Antes de usar
, eu explico e motivo cada passo.
Passo 3
Primeira transformação: escrevo
como exponencial natural e faço uma substituição conveniente.
portanto a equação vira
Agora defino
Então
e substituindo:
Multiplicando os termos,
Para simplificar notações, chamo
Logo a equação equivalente é
Passo 4
Análise do termo
: como
, ao tomar a raiz quarta devemos cuidar do sinal. A equação pode ser reescrita como
Isto significa que temos que tratar separadamente os casos
e
.
Passo 5
Caso 1:
.
Se
então
e a equação fica
Faço a substituição
(ou seja
). Então
Agora entra a função
: por definição,
satisfaz
. Assim
Voltando a
e a
,
Como
, existe uma única solução real para
dada pelo ramo principal
. Isso fornece uma solução real positiva
.
Passo 6
Caso 2:
.
Se
escrevo
. A equação
torna-se
Tomando a quarta raiz (agora
), obtemos
Faço a substituição
(note que
porque
). Então
e
Novamente aplico
: as soluções são
onde
denota as diferentes ramas da função de Lambert. Para argumentos reais no intervalo
existem duas ramas reais:
(com valores em
) e
(com valores em
). Como
(mostrarei o valor numérico em seguida), ambas as ramas produzem
reais distintos negativos, e portanto geram duas soluções reais distintas para
(e para
):
Voltando,
logo
com
e
dando duas soluções reais negativas distintas.
Passo 7
Resumo das expressões exatas em termos de
.
Lembrando que
, as três soluções reais são:
- solução positiva (ramo principal com argumento positivo)
- duas soluções negativas (do caso
, usando os dois ramos reais)
Aqui
é a rama principal e
é a outra rama real (quando o argumento está em
).
Passo 8
Vamos agora obter aproximações numéricas (úteis para conferir na prova). Primeiro avalio o número comum
O fator
vale
Agora as avaliações numéricas das ramas
(valores aproximados):
-
; -
; -
.
Multiplicando por
obtemos as soluções aproximadas:
(Dica: para obter essas aproximações numéricas pode-se usar poucas iterações do método de Newton aplicado à função
ou uma calculadora com a função
. No papel, estimativas por tentativa/afinação também funcionam como mostrei nos passos de tentativa.)