x^{4} \cdot 3^{x}=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação real
x^{4}\cdot 3^{x}=2.
Informações dadas:
  • A incógnita é x (procuramos soluções reais).
  • A equação mistura polinômio em x ( x^4) e exponencial ( 3^x).
    O objetivo é encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Observação sobre a dificuldade e a estratégia que vou adotar (sem resolver ainda): a equação é transcendental (produto de potência de x por exponencial em x), logo não se resolve por manipulações algébricas elementares. Uma ferramenta adequada é a função de Lambert W, que resolve equações do tipo w e^{w}=z. Vou transformar a equação até chegar a algo do tipo u e^{u}= \text{constante}, aplicar W e tratar cuidadosamente os sinais porque há uma potência par ( x^4) que permite múltiplas soluções reais. Antes de usar W, eu explico e motivo cada passo.

Passo 3

Primeira transformação: escrevo 3^{x} como exponencial natural e faço uma substituição conveniente.
3^{x}=e^{x\ln 3},
portanto a equação vira
x^{4}e^{x\ln 3}=2.
Agora defino
y:=x\ln 3.
Então x=\dfrac{y}{\ln 3} e substituindo:
\left(\frac{y}{\ln 3}\right)^{4} e^{y}=2.
Multiplicando os termos,
y^{4} e^{y}=2(\ln 3)^{4}.
Para simplificar notações, chamo
A:=2(\ln 3)^{4}.
Logo a equação equivalente é
y^{4} e^{y}=A.

Passo 4

Análise do termo y^{4}: como y^{4}=(|y|)^{4}, ao tomar a raiz quarta devemos cuidar do sinal. A equação pode ser reescrita como
(|y|) e^{y/4}=A^{1/4}.
Isto significa que temos que tratar separadamente os casos y\ge 0 e y<0.

Passo 5

Caso 1: y\ge 0.
Se y\ge 0 então |y|=y e a equação fica
y e^{y/4}=A^{1/4}.
Faço a substituição t:=\dfrac{y}{4} (ou seja y=4t). Então
4t e^{t}=A^{1/4} \quad\Longleftrightarrow\quad t e^{t}=\frac{A^{1/4}}{4}.
Agora entra a função W: por definição, W(z) satisfaz W(z)e^{W(z)}=z. Assim
t=W\!\left(\frac{A^{1/4}}{4}\right).
Voltando a y e a x,
y=4W\!\left(\frac{A^{1/4}}{4}\right), \qquad x=\frac{y}{\ln 3}=\frac{4}{\ln 3}\,W\!\left(\frac{A^{1/4}}{4}\right).
Como \dfrac{A^{1/4}}{4}>0, existe uma única solução real para t dada pelo ramo principal W_{0}. Isso fornece uma solução real positiva x.

Passo 6

Caso 2: y<0.
Se y<0 escrevo s:= -y>0. A equação y^{4} e^{y}=A torna-se
s^{4} e^{-s}=A.
Tomando a quarta raiz (agora |y|=s), obtemos
s e^{-s/4}=A^{1/4}.
Faço a substituição u:= -\dfrac{s}{4} (note que u<0 porque s>0). Então s=-4u e
(-4u)e^{u}=A^{1/4} \quad\Longleftrightarrow\quad u e^{u}=-\frac{A^{1/4}}{4}.
Novamente aplico W: as soluções são
u=W_{k}\!\left(-\frac{A^{1/4}}{4}\right),
onde W_{k} denota as diferentes ramas da função de Lambert. Para argumentos reais no intervalo \left(-\dfrac{1}{e},0\right) existem duas ramas reais: W_{0} (com valores em (-1,0)) e W_{-1} (com valores em (-\infty,-1]). Como -\dfrac{A^{1/4}}{4}\in\left(-\dfrac{1}{e},0\right) (mostrarei o valor numérico em seguida), ambas as ramas produzem u reais distintos negativos, e portanto geram duas soluções reais distintas para y (e para x):
Voltando,
s=-4u=-4W_{k}\!\left(-\frac{A^{1/4}}{4}\right), \qquad y=-s=4W_{k}\!\left(-\frac{A^{1/4}}{4}\right),
logo
x=\frac{y}{\ln 3}=\frac{4}{\ln 3}\,W_{k}\!\left(-\frac{A^{1/4}}{4}\right),
com k=0 e k=-1 dando duas soluções reais negativas distintas.

Passo 7

Resumo das expressões exatas em termos de W.
Lembrando que A^{1/4}=(\;2(\ln 3)^{4}\;)^{1/4}=(\ln 3)\,2^{1/4}, as três soluções reais são:
  • solução positiva (ramo principal com argumento positivo)
x_{1}=\frac{4}{\ln 3}\;W_{0}\!\left(\frac{(\ln 3)\,2^{1/4}}{4}\right).
  • duas soluções negativas (do caso y<0, usando os dois ramos reais)
x_{2}=\frac{4}{\ln 3}\;W_{0}\!\left(-\frac{(\ln 3)\,2^{1/4}}{4}\right), \qquad x_{3}=\frac{4}{\ln 3}\;W_{-1}\!\left(-\frac{(\ln 3)\,2^{1/4}}{4}\right).
Aqui W_{0} é a rama principal e W_{-1} é a outra rama real (quando o argumento está em \left(-\dfrac{1}{e},0\right)).

Passo 8

Vamos agora obter aproximações numéricas (úteis para conferir na prova). Primeiro avalio o número comum
\frac{(\ln 3)\,2^{1/4}}{4}\approx 0,326619387.
O fator \dfrac{4}{\ln 3} vale
\frac{4}{\ln 3}\approx 3,639682037.
Agora as avaliações numéricas das ramas W (valores aproximados):
  • W_{0}\!\left(0,326619387\right)\approx 0,2532;
  • W_{0}\!\left(-0,326619387\right)\approx -0,5866;
  • W_{-1}\!\left(-0,326619387\right)\approx -1,5760.
Multiplicando por \dfrac{4}{\ln 3} obtemos as soluções aproximadas:
x_{1}\approx 0,9219,\qquad x_{2}\approx -2,1347,\qquad x_{3}\approx -5,7374.
(Dica: para obter essas aproximações numéricas pode-se usar poucas iterações do método de Newton aplicado à função w\mapsto w e^{w}-z ou uma calculadora com a função W. No papel, estimativas por tentativa/afinação também funcionam como mostrei nos passos de tentativa.)

Resposta

x\approx 0,9219
x\approx -2,1347
x\approx -5,7374

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