5 \sin x=x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
5\sin x = x-1.
Vou interpretar isso como “achar todas as soluções reais x da equação”. As informações dadas são apenas a própria equação; não há outras condições extras.

Passo 2

Transformo a equação em uma função que vamos estudar. Defino
f(x)=5\sin x - x + 1.
As soluções da equação são exatamente os zeros de f, isto é, os x tais que f(x)=0.

Passo 3

Faço uma observação simples sobre intervalos possíveis para as soluções: como -5\le 5\sin x\le 5, qualquer solução deve satisfazer
-5 \le x-1 \le 5.
Resolvendo em x
-4 \le x \le 6.
Portanto não há solução fora do intervalo [-4,6]. Isso já reduz bastante o trabalho.

Passo 4

Analiso a derivada para entender monotonicidade e número de raízes possíveis. Calculo
f'(x)=5\cos x - 1.
As críticas ocorrem quando f'(x)=0, isto é quando \cos x = \dfrac{1}{5}. Chamando \alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{5}\right), temos \alpha\approx 1,3694 (em radianos). As soluções de \cos x = 1/5 são
x = \pm \alpha + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [-4,6] aparecem exatamente três pontos críticos:
x\approx -\alpha,\quad x\approx \alpha,\quad x\approx -\alpha + 2\pi.
Numericamente,
-\alpha\approx -1,3694,\qquad \alpha\approx 1,3694,\qquad -\alpha+2\pi\approx 4,9137.
Assim f é monotônica em cada um dos quatro intervalos
[-4,-\alpha],\quad [-\alpha,\alpha],\quad [\alpha,-\alpha+2\pi],\quad [ -\alpha+2\pi,6].
Numa função contínua, em cada intervalo monotônico pode haver no máximo uma raiz. Logo o número total de raízes em [-4,6] é no máximo 4; agora vamos contar quantas existem usando o sinal de f nos extremos desses subintervalos.

Passo 5

Avalio f nos pontos-chaves (usarei aproximações numéricas controladas):
\begin{aligned} f(-4)&=5\sin(-4)-(-4)+1\approx 3,7840+4+1=8,7840>0,\\[4pt] f(-\alpha)&\approx 5\sin(-1,3694)-(-1,3694)+1\approx -4,89898+1,3694+1\approx -2,5296<0,\\[4pt] f(\alpha)&\approx 5\sin(1,3694)-1,3694+1\approx 4,89898-1,3694+1\approx 4,5296>0,\\[4pt] f(-\alpha+2\pi)&\approx 5\sin(4,9137)-4,9137+1\approx -4,89898-4,9137+1\approx -8,8127<0,\\[4pt] f(6)&\approx 5\sin(6)-6+1\approx -1,3971-5\approx -6,3971<0. \end{aligned}
Os sinais em cada extremidade dos subintervalos monotônicos são, em sequência:
+,\;-,\;+,\;-,\;-
Isto nos dá uma mudança de sinal em três intervalos distintos, portanto existem exatamente três raízes reais de f (uma em cada um destes intervalos):
  • uma em [-4,-\alpha],
  • uma em [-\alpha,\alpha],
  • uma em [\alpha,-\alpha+2\pi].]

Passo 6

Para obter valores numéricos das três raízes uso o método da bisseção (método robusto, simples e apropriado em prova). A ideia do método: se f(a) e f(b) têm sinais opostos, então por continuidade existe uma raiz em [a,b]; dividimos o intervalo ao meio e escolhemos a metade que tem mudança de sinal, repetindo até a precisão desejada. Vou mostrar iterações suficientes para garantir 4 casas decimais confiáveis.

Passo 7

Comecei com o intervalo [-2,4,-2,3] (notar que encontrei numericamente que a raiz está perto de -2,396). Aplico bisseção refinando até erro menor que 5\times 10^{-4}. Após algumas iterações (mostradas resumidamente) obtive a aproximação
x_1\approx -2,3959.
(As iterações mostraram mudança de sinal em subintervalos sucessivos e convergência para -2,3959 com erro inferior a 5\cdot10^{-4}.)

Passo 8

Usei bisseção no intervalo [-1,0] e refinei até a precisão desejada. As iterações rápidas foram (valores de f em pontos-teste mostraram mudança de sinal entre -0,254 e -0,252). A aproximação final é
x_2\approx -0,2537.

Passo 9

Usei bisseção no intervalo [2,75,2,79] e refinei até convergir. As avaliações mostraram mudança de sinal e convergência rápida; a raiz é
x_3\approx 2,7779.

Passo 10

Resumo do raciocínio didático:
  • transformar em f(x)=5\sin x - x + 1;
  • usar o fato -5\le 5\sin x\le 5 para restringir x a [-4,6];
  • estudar f'(x)=5\cos x -1 para achar pontos críticos e monotonicidade (isso garante no máximo uma raiz por intervalo monotônico);
  • avaliar f nos extremos desses intervalos para contar variações de sinal e concluir que existem exatamente três raízes;
  • usar bisseção (método simples, seguro em prova) para aproximar cada raiz até a precisão desejada.

Resposta

-2,3959
-0,2537
2,7779

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