Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Vou interpretar isso como “achar todas as soluções reais
da equação”. As informações dadas são apenas a própria equação; não há outras condições extras.
Passo 2
Transformo a equação em uma função que vamos estudar. Defino
As soluções da equação são exatamente os zeros de
, isto é, os
tais que
.
Passo 3
Faço uma observação simples sobre intervalos possíveis para as soluções: como
, qualquer solução deve satisfazer
Resolvendo em
dá
Portanto não há solução fora do intervalo
. Isso já reduz bastante o trabalho.
Passo 4
Analiso a derivada para entender monotonicidade e número de raízes possíveis. Calculo
As críticas ocorrem quando
, isto é quando
. Chamando
, temos
(em radianos). As soluções de
são
No intervalo
aparecem exatamente três pontos críticos:
Numericamente,
Assim
é monotônica em cada um dos quatro intervalos
Numa função contínua, em cada intervalo monotônico pode haver no máximo uma raiz. Logo o número total de raízes em
é no máximo 4; agora vamos contar quantas existem usando o sinal de
nos extremos desses subintervalos.
Passo 5
Avalio
nos pontos-chaves (usarei aproximações numéricas controladas):
Os sinais em cada extremidade dos subintervalos monotônicos são, em sequência:
Isto nos dá uma mudança de sinal em três intervalos distintos, portanto existem exatamente três raízes reais de
(uma em cada um destes intervalos):
- uma em
, - uma em
, - uma em
.]
Passo 6
Para obter valores numéricos das três raízes uso o método da bisseção (método robusto, simples e apropriado em prova). A ideia do método: se
e
têm sinais opostos, então por continuidade existe uma raiz em
; dividimos o intervalo ao meio e escolhemos a metade que tem mudança de sinal, repetindo até a precisão desejada. Vou mostrar iterações suficientes para garantir 4 casas decimais confiáveis.
Passo 7
Comecei com o intervalo
(notar que encontrei numericamente que a raiz está perto de
). Aplico bisseção refinando até erro menor que
. Após algumas iterações (mostradas resumidamente) obtive a aproximação
(As iterações mostraram mudança de sinal em subintervalos sucessivos e convergência para
com erro inferior a
.)
Passo 8
Usei bisseção no intervalo
e refinei até a precisão desejada. As iterações rápidas foram (valores de
em pontos-teste mostraram mudança de sinal entre
e
). A aproximação final é
Passo 9
Usei bisseção no intervalo
e refinei até convergir. As avaliações mostraram mudança de sinal e convergência rápida; a raiz é
Passo 10
Resumo do raciocínio didático:
- transformar em
; - usar o fato
para restringir a ; - estudar
para achar pontos críticos e monotonicidade (isso garante no máximo uma raiz por intervalo monotônico); - avaliar
nos extremos desses intervalos para contar variações de sinal e concluir que existem exatamente três raízes; - usar bisseção (método simples, seguro em prova) para aproximar cada raiz até a precisão desejada.