Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os valores reais de
que satisfazem a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
(assumir ). - A equação relaciona um polinômio quadrático
com a função exponencial .
O objetivo imediato: resolver a equação acima, ou seja, achar todos os
reais que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Transformar a equação em uma função cujas raízes vamos procurar. Defino
Resolver a equação original é equivalente a achar as raízes de
, ou seja, os
tais que
.
Antes de tentar aproximar numericamente a(s) raiz(es), é útil estudar existência e unicidade de soluções: vou mostrar que existe pelo menos uma raiz e que, na verdade, existe exatamente uma raiz real.
Passo 3
Mostro existência de uma raiz via Teorema do Valor Intermediário (TVI). Calculo
em dois pontos:
Como
é contínua (é combinação de polinomial e exponencial), e
,
, pelo TVI existe pelo menos um
tal que
.
Passo 4
Mostro que a raiz é única estudando o sinal da derivada de
. Calculo a derivada:
Para provar que
é estritamente decrescente (o que garante unicidade da raiz), analiso
. Defino
Derivando
,
A equação
é
, cujo único ponto crítico é
. Assim
tem um máximo em
. Avalio esse máximo:
Como
, tem-se
Portanto o máximo de
é negativo, ou seja,
para todo
. Logo
para todo
, o que significa que
é estritamente decrescente em toda a reta real.
Uma função contínua e estritamente decrescente pode ter no máximo uma raiz. Juntando com o passo anterior (existe ao menos uma raiz em
), concluímos que existe exatamente uma solução real da equação, e ela pertence ao intervalo
.
Passo 5
Resumo até aqui: existe uma única solução real da equação e essa solução está no intervalo
. Agora vamos calcular uma aproximação numérica dessa raiz.
Passo 6
Vou usar o método de Newton para aproximar a raiz. Explicando de forma curta e prática: dado
diferenciável, a iteração de Newton é
onde
já foi dada em
. Essa fórmula corresponde a linearizar
em
e achar a interseção da reta tangente com o eixo
.
Escolho uma aproximação inicial dentro do intervalo onde sabemos que há raiz:
.
Iterações (mostrando os valores principais, com aritmética suficiente para a prova):
Iteração 0:
Calculo
e
:
Aplicando Newton:
Iteração 1:
Calculo
e
(valores arredondados para clareza):
Atualizo:
Iteração 2:
Calculo novamente:
Atualizo:
A correção na última iteração é muito pequena, então já temos convergência com boa precisão.
Passo 7
Conclusão numérica: a única solução real é aproximadamente
Na prática de prova: justifique existência (TVI entre
e
), unicidade (derivada sempre negativa), e obtenha a aproximação fazendo 2–3 iterações de Newton como acima.