(x-2)^{2}=\frac{1}{2} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores reais de x que satisfazem a equação
(x-2)^{2}=\frac{1}{2}e^{x}.
Informações dadas:
  • A incógnita é x (assumir x\in\mathbb{R}).
  • A equação relaciona um polinômio quadrático (x-2)^{2} com a função exponencial e^{x}.
O objetivo imediato: resolver a equação acima, ou seja, achar todos os x reais que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Transformar a equação em uma função cujas raízes vamos procurar. Defino
f(x)=(x-2)^{2}-\frac{1}{2}e^{x}.
Resolver a equação original é equivalente a achar as raízes de f, ou seja, os x tais que f(x)=0.
Antes de tentar aproximar numericamente a(s) raiz(es), é útil estudar existência e unicidade de soluções: vou mostrar que existe pelo menos uma raiz e que, na verdade, existe exatamente uma raiz real.

Passo 3

Mostro existência de uma raiz via Teorema do Valor Intermediário (TVI). Calculo f em dois pontos:
f(0)=(0-2)^{2}-\frac{1}{2}e^{0}=4-\frac{1}{2}\cdot 1=4-\tfrac{1}{2}= \tfrac{7}{2}=3,5>0,
f(1)=(1-2)^{2}-\frac{1}{2}e^{1}=1-\frac{1}{2}e\approx 1-\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}71828\approx 1-1{,}35914\approx -0{,}35914<0.
Como f é contínua (é combinação de polinomial e exponencial), e f(0)>0, f(1)<0, pelo TVI existe pelo menos um x\in(0,1) tal que f(x)=0.

Passo 4

Mostro que a raiz é única estudando o sinal da derivada de f. Calculo a derivada:
f'(x)=2(x-2)-\frac{1}{2}e^{x}.
Para provar que f é estritamente decrescente (o que garante unicidade da raiz), analiso f'(x). Defino
h(x)=f'(x)=2(x-2)-\frac{1}{2}e^{x}.
Derivando h,
h'(x)=2-\frac{1}{2}e^{x}.
A equação h'(x)=0 é e^{x}=4, cujo único ponto crítico é x=\ln 4. Assim h tem um máximo em x=\ln 4. Avalio esse máximo:
h(\ln 4)=2(\ln 4-2)-\frac{1}{2}e^{\ln 4}=2\ln 4-4-2=2\ln 4-6.
Como \ln 4\approx 1{,}38629, tem-se
2\ln 4-6\approx 2\cdot 1{,}38629-6\approx 2{,}77258-6\approx -3{,}22742<0.
Portanto o máximo de h é negativo, ou seja, h(x)<0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo f'(x)<0 para todo x, o que significa que f é estritamente decrescente em toda a reta real.
Uma função contínua e estritamente decrescente pode ter no máximo uma raiz. Juntando com o passo anterior (existe ao menos uma raiz em (0,1)), concluímos que existe exatamente uma solução real da equação, e ela pertence ao intervalo (0,1).

Passo 5

Resumo até aqui: existe uma única solução real da equação e essa solução está no intervalo (0,1). Agora vamos calcular uma aproximação numérica dessa raiz.

Passo 6

Vou usar o método de Newton para aproximar a raiz. Explicando de forma curta e prática: dado f diferenciável, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) já foi dada em f'(x)=2(x-2)-\tfrac{1}{2}e^{x}. Essa fórmula corresponde a linearizar f em x_n e achar a interseção da reta tangente com o eixo x.
Escolho uma aproximação inicial dentro do intervalo onde sabemos que há raiz: x_{0}=0{,}5.
Iterações (mostrando os valores principais, com aritmética suficiente para a prova):
Iteração 0:
x_{0}=0{,}5.
Calculo f(x_{0}) e f'(x_{0}):
f(0{,}5)=(0{,}5-2)^{2}-\tfrac{1}{2}e^{0{,}5}=(-1{,}5)^{2}-\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}64872\approx 2{,}25-0{,}82436\approx 1{,}42564,
f'(0{,}5)=2(0{,}5-2)-\tfrac{1}{2}e^{0{,}5}= -3-0{,}82436\approx -3{,}82436.
Aplicando Newton:
x_{1}=0{,}5-\frac{1{,}42564}{-3{,}82436}\approx 0{,}5+0{,}37280\approx 0{,}87280.
Iteração 1:
x_{1}\approx 0{,}87280.
Calculo f(x_{1}) e f'(x_{1}) (valores arredondados para clareza):
e^{x_{1}}\approx 2{,}3933,
f(x_{1})=(0{,}87280-2)^{2}-\tfrac{1}{2}e^{0{,}87280}\approx (-1{,}12720)^{2}-1{,}19665\approx 1{,}27070-1{,}19665\approx 0{,}07405,
f'(x_{1})=2(-1{,}12720)-\tfrac{1}{2}e^{0{,}87280}\approx -2{,}25440-1{,}19665\approx -3{,}45105.
Atualizo:
x_{2}=x_{1}-\frac{0{,}07405}{-3{,}45105}\approx 0{,}87280+0{,}02147\approx 0{,}89427.
Iteração 2:
x_{2}\approx 0{,}89427.
Calculo novamente:
e^{x_{2}}\approx 2{,}4459,\qquad \tfrac{1}{2}e^{x_{2}}\approx 1{,}22295,
f(x_{2})=(0{,}89427-2)^{2}-1{,}22295\approx (-1{,}10573)^{2}-1{,}22295\approx 1{,}22264-1{,}22295\approx -0{,}00031,
f'(x_{2})\approx 2(-1{,}10573)-1{,}22295\approx -2{,}21146-1{,}22295\approx -3{,}43441.
Atualizo:
x_{3}=x_{2}-\frac{-0{,}00031}{-3{,}43441}\approx x_{2}-0{,}00009\approx 0{,}89418.
A correção na última iteração é muito pequena, então já temos convergência com boa precisão.

Passo 7

Conclusão numérica: a única solução real é aproximadamente
x\approx 0{,}89418.
Na prática de prova: justifique existência (TVI entre 0 e 1), unicidade (derivada sempre negativa), e obtenha a aproximação fazendo 2–3 iterações de Newton como acima.

Resposta

x\approx 0{,}89418

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