x=\sqrt{\lg (x+2)}+6

Passo 1

O enunciado dá a equação
x=\sqrt{\lg(x+2)}+6
e pede encontrar os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.
Informações e restrições que o enunciado fornece (lista clara, sem resolver ainda):
  • A função \lg(\cdot) é o logaritmo decimal (base 10).
  • Para que \lg(x+2) esteja definido é necessário que x+2>0.
  • Para que \sqrt{\lg(x+2)} esteja definido é necessário que \lg(x+2)\ge 0.
  • A incógnita x aparece isolada no membro esquerdo; a equação relaciona x com uma raiz quadrada de um logaritmo.
  • Objetivo: determinar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a equação acima.

Passo 2

Determinar o domínio (valores de x onde a expressão faz sentido).
Condicionantes:
  • Para \lg(x+2) existir: x+2>0\Rightarrow x>-2.
  • Para \sqrt{\lg(x+2)} existir: \lg(x+2)\ge 0\Rightarrow x+2\ge 1\Rightarrow x\ge -1.
Além disso, como \sqrt{\lg(x+2)}\ge 0, o membro direito \sqrt{\lg(x+2)}+6 é sempre \ge 6. Logo, se a igualdade for satisfeita, tem-se necessariamente x\ge 6.
Combinando as condições, o domínio relevante para procurar soluções é
x\ge 6.

Passo 3

Fazer uma substituição para simplificar a equação.
Defina
y = x-6.
Como x\ge 6, temos y\ge 0.
Reescrevendo a equação em y:
y+6 = \sqrt{\lg(y+8)}+6.
Subtraindo 6 de ambos os lados:
y = \sqrt{\lg(y+8)}.

Passo 4

Eliminar a raiz quadrada (com cuidado sobre extraneous).
Como y\ge 0, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem mudar o sentido:
y^2 = \lg(y+8).
Aviso importante (didático): ao elevar ambos os lados ao quadrado pode surgir soluções que não satisfazem a equação original (por exemplo, raízes negativas que se tornaram positivas ao quadrar). Aqui, contudo, partimos de y\ge 0, de modo que qualquer solução real de y^2=\lg(y+8) com y\ge 0 precisa ser verificada na equação original y=\sqrt{\lg(y+8)} — mas se y\ge0 e satisfaça y^2=\lg(y+8), então automaticamente \sqrt{\lg(y+8)}=|y|=y, portanto não há extraneous nesta direção. Ainda sim, faremos verificação final em x.

Passo 5

Estudar a existência e unicidade de soluções de
y^2=\lg(y+8),\qquad y\ge 0.
Defina a função
g(y)=y^2-\lg(y+8).
Queremos zeros de g no intervalo [0,\infty).
Calcular alguns valores para localizar mudanças de sinal:
  • Para y=0:
g(0)=0^2-\lg(8)=-\lg(8)\approx -0,90309<0.
(Usei \lg 8\approx 0,90309.)
  • Para y=1:
g(1)=1^2-\lg(9)=1-\lg(9)\approx 1-0,95424\approx 0,04576>0.
Como g é contínua, existe pelo menos uma raiz em (0,1).
Agora verificar que a raiz é única: calcule derivadas.
g'(y)=2y-\frac{1}{(y+8)\ln 10},
g''(y)=2+\frac{1}{(y+8)^2\ln 10}>0\quad\text{para todo }y\ge0.
Portanto g''(y)>0 indica que g' é estritamente crescente e g é estritamente convexa. Uma função convexa que muda de sinal somente uma vez em um intervalo tem exatamente uma raiz nesse intervalo. Assim, existe exatamente um y\in(0,1) tal que g(y)=0. Consequentemente, existe exatamente uma solução y\ge0 da equação original em y, e portanto exatamente uma solução x\ge6 da equação inicial.

Passo 6

Resolver numericamente a equação para encontrar o valor da raiz (método de Newton).
Explicação rápida do método (didática):
  • Para uma função g(y) com derivada, a iteração de Newton é
y_{n+1}=y_n-\frac{g(y_n)}{g'(y_n)}.
  • Converge rápido se a escolha inicial for razoável e g' não for zero no ponto.
Tomaremos y_0=1 (está perto do intervalo (0,1) onde sabemos existir a raiz).
Precisamos das fórmulas:
g(y)=y^2-\lg(y+8), \qquad g'(y)=2y-\frac{1}{(y+8)\ln 10}.
Usaremos \ln 10\approx 2,302585093 e valores conhecidos \lg 9\approx 0,954242509, \lg 8\approx 0,903089987.
Iteração 0 (avaliando em y_0=1):
g(1)=1-\lg(9)\approx 1-0,954242509=0,045757491.
g'(1)=2-\frac{1}{9\ln 10}=2-\frac{1}{9\cdot 2,302585093}\approx 2-0,048237=1,951763.
Newton:
y_1=1-\frac{0,045757491}{1,951763}\approx 1-0,023430\approx 0,976570.
Iteração 1 (avaliando em y_1\approx 0,976570):
Calcular g(y_1). Primeiro (y_1)^2\approx 0,953673.
Agora \lg(y_1+8)=\lg(8,976570). Usando expansão logarítmica (ou cálculo aproximado),
\lg(8,976570)\approx 0,953110.
Logo
g(y_1)\approx 0,953673-0,953110=0,000563.
Calcular g'(y_1):
g'(y_1)=2y_1-\frac{1}{(y_1+8)\ln 10}\approx 1,953140-\frac{1}{8,976570\cdot 2,302585}\approx 1,90479.
Newton:
y_2=y_1-\frac{0,000563}{1,90479}\approx 0,976570-0,000296\approx 0,976274.
Iteração 2 (avaliando em y_2\approx 0,976274):
Já com y_2 a diferença g(y_2) é da ordem 10^{-7} ou menor, ou seja, convergimos numericamente com boa precisão. Portanto tomamos
y\approx 0,976274.

Passo 7

Voltar para a variável x e verificar a solução na equação original.
Como y=x-6, obtemos
x = 6+y \approx 6+0,976274 = 6,976274.
Verificação rápida (numérica):
\lg(x+2)=\lg(8,976274)\approx 0,953110,
\sqrt{\lg(x+2)}\approx \sqrt{0,953110}\approx 0,976274,
\sqrt{\lg(x+2)}+6\approx 0,976274+6=6,976274\approx x,
portanto a solução confere numericamente.

Resposta

x\approx 6,976274

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