Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede encontrar os valores reais de
que satisfazem essa igualdade.
Informações e restrições que o enunciado fornece (lista clara, sem resolver ainda):
- A função
é o logaritmo decimal (base 10). - Para que
esteja definido é necessário que . - Para que
esteja definido é necessário que . - A incógnita
aparece isolada no membro esquerdo; a equação relaciona com uma raiz quadrada de um logaritmo. - Objetivo: determinar todos os
que satisfazem a equação acima.
Passo 2
Determinar o domínio (valores de
onde a expressão faz sentido).
Condicionantes:
- Para
existir: . - Para
existir: .
Além disso, como
, o membro direito
é sempre
. Logo, se a igualdade for satisfeita, tem-se necessariamente
.
Combinando as condições, o domínio relevante para procurar soluções é
Passo 3
Fazer uma substituição para simplificar a equação.
Defina
Como
, temos
.
Reescrevendo a equação em
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 4
Eliminar a raiz quadrada (com cuidado sobre extraneous).
Como
, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem mudar o sentido:
Aviso importante (didático): ao elevar ambos os lados ao quadrado pode surgir soluções que não satisfazem a equação original (por exemplo, raízes negativas que se tornaram positivas ao quadrar). Aqui, contudo, partimos de
, de modo que qualquer solução real de
com
precisa ser verificada na equação original
— mas se
e satisfaça
, então automaticamente
, portanto não há extraneous nesta direção. Ainda sim, faremos verificação final em
.
Passo 5
Estudar a existência e unicidade de soluções de
Defina a função
Queremos zeros de
no intervalo
.
Calcular alguns valores para localizar mudanças de sinal:
- Para
:
(Usei
.)
- Para
:
Como
é contínua, existe pelo menos uma raiz em
.
Agora verificar que a raiz é única: calcule derivadas.
Portanto
indica que
é estritamente crescente e
é estritamente convexa. Uma função convexa que muda de sinal somente uma vez em um intervalo tem exatamente uma raiz nesse intervalo. Assim, existe exatamente um
tal que
. Consequentemente, existe exatamente uma solução
da equação original em
, e portanto exatamente uma solução
da equação inicial.
Passo 6
Resolver numericamente a equação para encontrar o valor da raiz (método de Newton).
Explicação rápida do método (didática):
- Para uma função
com derivada, a iteração de Newton é
- Converge rápido se a escolha inicial for razoável e
não for zero no ponto.
Tomaremos
(está perto do intervalo
onde sabemos existir a raiz).
Precisamos das fórmulas:
Usaremos
e valores conhecidos
,
.
Iteração 0 (avaliando em
):
Newton:
Iteração 1 (avaliando em
):
Calcular . Primeiro
.
Agora . Usando expansão logarítmica (ou cálculo aproximado),
Calcular
Agora
Logo
Calcular
:
Newton:
Iteração 2 (avaliando em
):
Já com a diferença
é da ordem
ou menor, ou seja, convergimos numericamente com boa precisão. Portanto tomamos
Já com
Passo 7
Voltar para a variável
e verificar a solução na equação original.
Como
, obtemos
Verificação rápida (numérica):
portanto a solução confere numericamente.