Para
(SI), calcule: (a) o(s) instante(s) em que
; (b) a posição correspondente; (c) classifique o extremo de
.
Passo 1
O enunciado fornece a lei horária da posição
com unidades do SI (logo
em
e
em
). As perguntas são:
- (a) Em que(s) instante(s) temos
? - (b) Qual é a posição correspondente(s)
nesses instante(s)? - (c) Como classificar o extremo de
nesse(s) instante(s)?
Lista das informações relevantes dadas:
Não há outras restrições explícitas no enunciado (podemos assumir
se for contexto físico de tempo).
Passo 2
Entendendo velocidade e derivada: a velocidade instantânea
é a derivada temporal da posição
. Derivar significa encontrar a taxa de variação de
em relação a
. Para polinômios usamos a regra básica: a derivada de
é
.
Aplicando isso a cada termo de
:
Portanto a velocidade é
Aqui
tem unidade
.
Passo 3
Resolver a condição
. Igualamos
a zero e resolvemos para
:
Isolando
:
Simplificando a fração,
Usando a vírgula decimal no SI, temos
.
Observação: é único instante porque a equação é linear em
, logo apenas uma solução.
Passo 4
Agora calculamos a posição correspondente substituindo
em
. Primeiro faço passo a passo:
Calcule cada termo:
Subtraindo,
Logo a posição é
.
Passo 5
Classificação do extremo: duas formas didáticas de ver isso.
Método A — segunda derivada (teste da concavidade): a aceleração
é a derivada de
, isto é a segunda derivada de
:
Como
é constante e negativa, a função
é côncava para baixo em todo lugar. Quando a segunda derivada é negativa num ponto crítico, esse ponto é um máximo local. Como a parábola abre para baixo (coeficiente de
negativo), esse máximo é também o máximo global da função (para
em todo
).
Método B — mudança de sinal da primeira derivada: para reforçar intuitivamente, note que
é positiva quando
(pois por exemplo em
,
), e é negativa quando
(por exemplo em
,
). Ou seja,
cresce antes de
e decresce depois de
, caracterizando um máximo em
.
Conclusão: o extremo em
é um máximo (local e, neste caso, global).
Resposta
(a)
(b)
(c) máximo (a função tem concavidade negativa, portanto é um máximo; aqui é máximo global)
(b)
(c) máximo (a função tem concavidade negativa, portanto é um máximo; aqui é máximo global)