Para x(t)=10 t-2 t^{2} (SI), calcule: (a) o(s) instante(s) em que v=0; (b) a posição correspondente; (c) classifique o extremo de x(t).

Passo 1

O enunciado fornece a lei horária da posição
x(t)=10\,t-2\,t^{2}
com unidades do SI (logo t em \text{s} e x em \text{m}). As perguntas são:
  1. (a) Em que(s) instante(s) temos v=0?
  2. (b) Qual é a posição correspondente(s) x nesses instante(s)?
  3. (c) Como classificar o extremo de x(t) nesse(s) instante(s)?
Lista das informações relevantes dadas:
x(t)=10\,t-2\,t^{2}.
Não há outras restrições explícitas no enunciado (podemos assumir t\ge 0 se for contexto físico de tempo).

Passo 2

Entendendo velocidade e derivada: a velocidade instantânea v(t) é a derivada temporal da posição x(t). Derivar significa encontrar a taxa de variação de x em relação a t. Para polinômios usamos a regra básica: a derivada de a t^{n} é a n t^{n-1}.
Aplicando isso a cada termo de x(t):
\text{derivada de }10\,t \text{ é }10,é
\text{derivada de }-2\,t^{2} \text{ é }-2\cdot 2\,t = -4\,t.é
Portanto a velocidade é
v(t)=10-4\,t.
Aqui v(t) tem unidade \text{m/s}.

Passo 3

Resolver a condição v=0. Igualamos v(t) a zero e resolvemos para t:
10-4\,t=0.
Isolando t:
-4\,t=-10,
t=\frac{-10}{-4}=\frac{10}{4}.
Simplificando a fração,
t=\frac{10}{4}=2,5.
Usando a vírgula decimal no SI, temos t=2,5\\ \text{s}.
Observação: é único instante porque a equação é linear em t, logo apenas uma solução.

Passo 4

Agora calculamos a posição correspondente substituindo t=2,5\\ \text{s} em x(t). Primeiro faço passo a passo:
x(2,5)=10\cdot 2,5 - 2\cdot (2,5)^{2}.
Calcule cada termo:
10\cdot 2,5 = 25,
(2,5)^{2}=6,25,
2\cdot 6,25 = 12,5.
Subtraindo,
x(2,5)=25-12,5=12,5.
Logo a posição é x=12,5\\ \text{m}.

Passo 5

Classificação do extremo: duas formas didáticas de ver isso.
Método A — segunda derivada (teste da concavidade): a aceleração a(t) é a derivada de v(t), isto é a segunda derivada de x(t):
a(t)=v'(t)=\frac{d}{dt}(10-4t)=-4.
Como a(t)=-4 é constante e negativa, a função x(t) é côncava para baixo em todo lugar. Quando a segunda derivada é negativa num ponto crítico, esse ponto é um máximo local. Como a parábola abre para baixo (coeficiente de t^{2} negativo), esse máximo é também o máximo global da função (para t em todo \mathbb{R}).
Método B — mudança de sinal da primeira derivada: para reforçar intuitivamente, note que
v(t)=10-4t
é positiva quando t<2,5 (pois por exemplo em t=0, v=10>0), e é negativa quando t>2,5 (por exemplo em t=3, v=10-12=-2<0). Ou seja, x(t) cresce antes de 2,5 e decresce depois de 2,5, caracterizando um máximo em t=2,5.
Conclusão: o extremo em t=2,5\\ \text{s} é um máximo (local e, neste caso, global).

Resposta

(a) \,t=2,5\\ \text{s}
(b) \,x(2,5)=12,5\\ \text{m}
(c) máximo (a função tem concavidade negativa, portanto é um máximo; aqui é máximo global)

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