Para x(t)=\sin t+t (SI), determine v(t) e a(t), e avalie v(\pi) e a(\pi).

Passo 1

O enunciado dá a lei horária (posição em função do tempo) \,x(t)=\sin t + t (SI) e pede:
  • Determinar a velocidade v(t).
  • Determinar a aceleração a(t).
  • Avaliar v(\pi) e a(\pi).
Informações relevantes fornecidas:
\,x(t)=\sin t + t\,. Não há outras constantes ou figuras; todos os pedidos se referem a derivadas dessa função em t.

Passo 2

O que significa “determinar v(t)” e “determinar a(t)”? Aqui vai uma explicação didática e calma:
  • Velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Em símbolos: \,v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
  • Aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição: \,a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^2x}{dt^2}.
Derivada é uma operação que diz como uma função muda localmente. Para uma função simples como x(t), a derivada se obtém aplicando regras básicas (soma, constante, derivada de funções elementares).

Passo 3

Regras e limites que vamos usar (vou mostrar de forma prática):
  1. Derivada da soma: \dfrac{d}{dt}\big(f(t)+g(t)\big)=\dfrac{d f}{dt}+\dfrac{d g}{dt}. Ou seja, derivada distribui sobre soma.
  2. Derivada de t (identidade): calculemos rápido pela definição:
\frac{d}{dt}t=\lim_{h\to0}\frac{(t+h)-t}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1.
  1. Derivada de \sin t: é um resultado padrão, mas aqui está uma demonstração curta usando identidade trigonométrica:
\frac{d}{dt}\sin t=\lim_{h\to0}\frac{\sin(t+h)-\sin t}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sin t\cos h+\cos t\sin h-\sin t}{h}
=\lim_{h\to0}\left(\sin t\frac{\cos h-1}{h}+\cos t\frac{\sin h}{h}\right).
Sabemos os limites básicos \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 e \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0. Assim sobra \cos t. Logo
\frac{d}{dt}\sin t=\cos t.
Esses três pontos bastam para derivar \,x(t)=\sin t+t\,.

Passo 4

Agora aplicamos as regras à função dada para obter a velocidade \,v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
Usando derivada da soma e os resultados anteriores:
v(t)=\frac{d}{dt}\big(\sin t + t\big)=\frac{d}{dt}\sin t + \frac{d}{dt}t=\cos t + 1.
Portanto \,v(t)=\cos t + 1.

Passo 5

Em seguida obtemos a aceleração \,a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Derivamos v(t)=\cos t + 1:
a(t)=\frac{d}{dt}\big(\cos t + 1\big)=\frac{d}{dt}\cos t + \frac{d}{dt}1.
Sabemos que \dfrac{d}{dt}1=0 e \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t (resultado padrão; pode-se demonstrar de modo análogo ao da derivada do seno). Então
a(t)=-\sin t + 0=-\sin t.
Portanto \,a(t)=-\sin t.

Passo 6

Agora avaliamos em t=\pi.
  • Para a velocidade:
v(\pi)=\cos\pi + 1.
Como \cos\pi=-1, temos
v(\pi)=-1+1=0.
  • Para a aceleração:
a(\pi)=-\sin\pi.
Como \sin\pi=0, temos
a(\pi)=-0=0.

Passo 7

Interpretação rápida (só um toque incentivador): em t=\pi a partícula tem velocidade instantânea nula — isto é, está momentaneamente parada — e aceleração nula — isto é, naquele instante não há variação instantânea da velocidade. Tá indo bem — ver zeros em ambos pode parecer estranho, mas é totalmente possível fisicamente.

Resposta

v(t)=\cos t+1
a(t)=-\sin t
v(\pi)=0
a(\pi)=0

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