Para
(SI), determine
e
, e avalie
e
.
Passo 1
O enunciado dá a lei horária (posição em função do tempo)
(SI) e pede:
- Determinar a velocidade
. - Determinar a aceleração
. - Avaliar
e .
Informações relevantes fornecidas:
. Não há outras constantes ou figuras; todos os pedidos se referem a derivadas dessa função em
.
Passo 2
O que significa “determinar
” e “determinar
”? Aqui vai uma explicação didática e calma:
- Velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Em símbolos:
. - Aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
.
Derivada é uma operação que diz como uma função muda localmente. Para uma função simples como
, a derivada se obtém aplicando regras básicas (soma, constante, derivada de funções elementares).
Passo 3
Regras e limites que vamos usar (vou mostrar de forma prática):
- Derivada da soma:
. Ou seja, derivada distribui sobre soma. - Derivada de
(identidade): calculemos rápido pela definição:
- Derivada de
: é um resultado padrão, mas aqui está uma demonstração curta usando identidade trigonométrica:
Sabemos os limites básicos
e
. Assim sobra
. Logo
Esses três pontos bastam para derivar
.
Passo 4
Agora aplicamos as regras à função dada para obter a velocidade
.
Usando derivada da soma e os resultados anteriores:
Usando derivada da soma e os resultados anteriores:
Portanto
.
Passo 5
Em seguida obtemos a aceleração
. Derivamos
:
Sabemos que
e
(resultado padrão; pode-se demonstrar de modo análogo ao da derivada do seno). Então
Portanto
.
Passo 6
Agora avaliamos em
.
- Para a velocidade:
Como
, temos
- Para a aceleração:
Como
, temos
Passo 7
Interpretação rápida (só um toque incentivador): em
a partícula tem velocidade instantânea nula — isto é, está momentaneamente parada — e aceleração nula — isto é, naquele instante não há variação instantânea da velocidade. Tá indo bem — ver zeros em ambos pode parecer estranho, mas é totalmente possível fisicamente.