Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. O conteúdo principal que vamos usar para resolver essa equação é o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisaremos lembrar da fórmula do fator integrante e de como aplicá-la para encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Vamos começar identificando os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
vemos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
A teoria aqui diz que, ao multiplicar pela fator integrante, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Para integrar o lado direito, fazemos uma substituição. Deixamos
, então
. A integral fica:
Passo 6
Agora, temos:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.