y' + y = sen(e')

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, representa a derivada de em relação a . O conteúdo principal que vamos usar para resolver essa equação é o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisaremos lembrar da fórmula do fator integrante e de como aplicá-la para encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Vamos começar identificando os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
vemos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
A teoria aqui diz que, ao multiplicar pela fator integrante, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto . Ou seja:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Para integrar o lado direito, fazemos uma substituição. Deixamos , então . A integral fica:

Passo 6

Agora, temos:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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