Se z=e^x seny, onde x=s t^2 e y=s^2 t determine
partial zpartial s e partial zpartial r

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função , onde e . A missão aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia, que ajuda quando a função depende de mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s . Para isso, usamos a regra da cadeia, já que partial zpartial s = e^x sin y cdot t^2 + e^x cos y cdot 2 s t depende de tanto através de quanto de .
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:
Vamos calcular cada termo:
  1. (derivada de em relação a )
  2. (derivada de em relação a )
  3. (derivada de em relação a )
  4. (derivada de em relação a )
Agora, substituindo esses valores na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t . Mas olha só, no enunciado não foi definido o que é partial zpartial t = e^x sin y cdot 2 s t + e^x cos y cdot s^2 . Provavelmente, foi um erro de digitação e seria mesmo. Então, vamos calcular .
Usando novamente a regra da cadeia:
Calculando cada termo:
  1. (derivada de em relação a )
  2. (derivada de em relação a )
Substituindo:

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:
partial zpartial s = e^x sin y cdot t^2 + 2 s t cdot e^x cos y
e
partial zpartial t = 2 s t cdot e^x sin y + s^2 cdot e^x cos y

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