Enunciado

14-8 Uma bomba d'água aumenta a pressão da água que passa através dela (Figura P14-8). Estima-se que a água seja incompressível. Para cada um dos três casos listados abaixo, como a

velocidade média da água varia através da bomba? Em particular, V s é menor do que, igual a ou maior do que V e ? Mostre suas equações e explique.

  1. O diâmetro de saída é menor do que o diâmetro de entrada ( D s < D e ) ;
  2. Os diâmetros de entrada e saída são iguais ( D s = D e ) ;
  3. O diâmetro de saída é maior do que o diâmetro de entrada ( D s < D e )

Passo 1

Vamos lá! Aqui a gente vai considerar um escoamento permanente e a água como fluído incompressível, beleza?!

A gente tem um esqueminha de uma bomba e queremos saber como varia a velocidade de acordo com os diâmetros da bomba em 3 casos diferentes. Para isso a gente vai usar o princípio de conservação de massa:

m ˙ e = m ˙ s

Abrindo a equação, temos:

ρ e V e A e = ρ s V s A s

Sabendo que a área é dada por:

A = π D 2 4

Substituindo:

ρ e V e π D e 2 4 = ρ s V s π D s 4

Se a água é incompressível, então ρ s = ρ e , cortando os termos em comum e isolando a V s

V s = V e D e D s 2

Passo 2

Temos uma relação entre velocidade e diâmetro, agora a gente vai analisar caso a caso!!

V s = V e D e D s 2

Na letra (a) D s < D e , então a razão D e D s 2 é maior que 1 , logo V s > V e .

Se D s = D e , então a razão dos diâmetros é igual a 1 e com isso na letra (b) V s = V e .

Pra acabar, quando D s > D e , então V s < V e porque a razão dos diâmetros é menor que 1 !

Resposta

  1. Para D s < D e , então V s > V e ;
  2. Para D s = D e , V s = V e ;
  3. Se D s > D e , então V s < V e .
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