Ar, a 20   p s i a e 100   ° F , escoa em torno de uma quina arredondada, na entrada de um difusor. A velocidade do ar é 150   f t / s , e o raio de curvatura das linhas de corrente é 3   i n . Determine a magnitude da aceleração centrípeta experimentada por uma partícula fluida percorrendo a quina. Expresse a sua resposta em g s (número de acelerações da gravidade). Avalie o gradiente de pressão ∂ p / ∂ x   .

Passo 1

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A questão nos deu ar a uma pressão de 20   p s i a , a temperatura de 100   ° F , velocidade de 150   f t / s e raio de curvatura da linha de corrente de 3   i n . Vamos determinar sua aceleração centrípeta e o gradiente de pressão.

Como temos um escoamento curvo, vamos usar as coordenadas cilíndricas para descrever o movimento das linhas de corrente. Segundo a equação de Euler, temos:

ρ g → - ∇ p = ρ D V → D t = ρ a → p

Então considerando um fluido incompressível, ρ = c o n s t a n t e , sem atrito e com a gravidade apontando na direção z ( g → = g k ^ ), podemos reescrever a expressão na forma:

ρ g r - ∂ p ∂ r = ρ a r = ρ ∂ V r ∂ t + V r ∂ V r ∂ r + V θ r ∂ V r ∂ θ + V z ∂ V r ∂ z - V θ 2 r

Nesse caso, temos um movimento que pode ser descrito como um vórtice irrotacional, então V r = 0 e V z = 0 . E podemos simplificar a equação:

- ∂ p ∂ r = ρ a r = ρ - V θ 2 r

a r = - V θ 2 r

A questão pede para escrevermos a resposta em g s , então vamos dividir por g dos dois lados:

a r g = - V θ 2 r g

Substituindo os valores V θ = 150   f t / s e r = 3   i n e realizando as conversões de i n para f t e aceleração da gravidade no sistema inglês ( 32 . 2   f t / s ) :

a r = - 150 2 f t 2 s 2 ∙ 1 3   i n ∙ 12 i n f t ∙ s 2 32 . 2 f t    

a r g ≅ - 2800   g s

Passo 2

Agora vamos encontrar o gradiente de pressão.

- ∂ p ∂ r = ρ a r

- ∂ p ∂ r = ρ - V θ 2 r

∂ p ∂ r = ρ V θ 2 r

Onde ρ = P / R T , pela equação para os gases ideais. Então,

∂ p ∂ r = P R T V θ 2 r

Podemos substituir os valores que o enunciado nos dá, P = 20   p s i a e T = 100   ° F , mas antes precisamos fazer as conversões para colocar a densidade em s l u g / f t 3 (unidades do Sistema inglês):

1   ° F = 460.67   ° R 1   p s i a = 1 l b f i n 2 1   f t 2 = 144   i n 2 1   f t = 12   i n 2 1   s l u g = 32.2   l b m

Então,

ρ = P R T = 20 l b f i n 2 × l b m   ° R 53.3 f t ∙ l b f   × 1 560 ° R × 144 i n 2 f t 2 × s l u g 32.2   l b m  

ρ = 0 . 003   s l u g / f t 3

Assim, nessas unidades, o gradiente de pressão será:

∂ p ∂ r = P R T V θ 2 r

∂ p ∂ r = 0.003 s l u g f t 3 × 150 2 f t 2 i n 2 × 1 3 i n × 12 i n f t × l b f ∙ s 2 f t ∙ s l u g

∂ p ∂ r ≈ 270   l b f ∙ f t 2 f t

Resposta

a r g ≅ - 2800   g s

∂ p ∂ r ≈ 270   l b f ∙ f t 2 f t