Enunciado

30 – Ar seco comprimido a Tm,i=55°C, p=15 atm, com uma vazão mássica de m ˙ = 0,05   k g / s , entra em um tubo de 50 mm de diâmetro e 2,5 m de comprimento que está a Ts=25°C.

(A) Determine a temperatura média do ar na saída do tubo, a taxa de transferência de calor do ar para a parede do tubo, e a potência requerida do fluxo de ar através do tubo.

(B) Em um esforço para reduzir o custo capital de instalação é proposto usar um tubo menor de 40 mm de diâmetro. Determine o comprimento do tubo requerido e a potência requerida para o tubo menor para alcançar a mesma taxa de transferência de calor que a do tubo maior.

Passo 1

A)

A temperatura média na saída, Tm,o, considerando que o fluxo de calor na superfície e as propriedades sejam constantes, é dada por

T m x = T m , i + q " S P m ˙ c p x

Onde,

-Tm,i é a temperatura na entrada;

-q”S é o fluxo de calor na superfície;

-P é o perímetro;

-cp é o calor especifico;

-x é a posição axial no tubo.

Para x=L, T(L)=Tm,o

T m , o = T m , i + q " S P m ˙ c p L

Passo 2

O fluxo de calor na superfície pode ser calculado, considerando um fluxo de calor constante, pela seguinte expressão

q " S = h ( T m , i - T S )

Onde,

-h é o coeficiente de transferência de calor;

-TS é a temperatura na superfície do tubo.

Assim,

T m , o = T m , i + P m ˙ c p h ( T m , i - T S ) L

O perímetro do cilindro é dado por

P = π D

Assim,

T m , o = T m , i + π D m ˙ c p h ( T m , i - T S ) L

Passo 3

O coeficiente de transferência de calor, h, pode ser determinado usando o nº de Nusselt

N u = h D k

Onde,

-k é a condutividade térmica do fluido;

-D é o diâmetro do tubo cilíndrico.

Isolando h

h = k N u D

Vamos precisar antes determinar o nº de Reynolds para sabermos qual correlação empírica utilizar.

Calculando Reynolds

R e = 4 m ˙ π μ D

Onde, μ é a viscosidade dinâmica do fluido.

Dados tabelados para o ar a 313K:

ρ = 1,12 k g m 3 ; P r = 0,702 ; μ = 190,7 x 10 - 7 k g m s ; c p = 1007,52 J k g K ; k = 27,3 x 10 - 3 W m K

Calculando Re

R e = 4 0,05 k g s π 190,7 x 10 - 7 k g m s ( 0,05   m ) = 66754

Com esse valor de Reynolds, podemos usar a correlação de Dittus-Boelter que é apropriada para escoamento turbulento em tubos cilíndricos, cuja expressão é

N u = 0,023 R e 0,8 P r 0,3

Assim, para h

h = k N u D

Passo 4

Substituindo,

T m , o = T m , i + π D m ˙ c p h ( T m , i - T S ) L

T m , o = T m , i + π m ˙ c p k N u ( T m , i - T S ) L

Aplicando os valores

N u = 0,023 ( 66754 ) 0,8 ( 0,702 ) 0,3 = 150

T m , o = 328   K + π 0,05 k g s 1007,5 J k g K 27,3 x 10 - 3 W m K ( 150 ) 55 - 25 K 2,5   m

T m , o = 347   K

Passo 5

A taxa de transferência de calor do ar para a parede do tubo por um balanço de energia em que considerando estado estacionário, variações de energia cinética e potencial desprezíveis, o balanço de energia resultante é

q = q " S A S

Onde, AS é a área superficial do cilindro que é dado por

A S = π D L

Assim,

q = π D L q " S

q = π D L h ( T m , i - T S )

q = π D L k N u D ( T m , i - T S )

q = π L k N u ( T m , i - T S )

Aplicando os valores:

q = π 2,5   m 27,3 x 10 - 3 W m K 150 55 - 25 K = 965 W

Passo 6

A potência requerida para o fluxo de ar vai depender da queda de pressão do ar ao longo do tubo e também de sua vazão mássica, pela seguinte expressão

W ˙ = ∆ p m ˙ ρ

Onde, Δp é a queda pressão, também conhecida como perda de carga, do ar ao longo do tubo que pode ser determinada pela eq. de Darcy-Weisbach:

∆ p = f ρ u m 2 2 D L

Onde,

- W ˙ , é a potência requerida para o fluido;

-Δp é queda de pressão do fluido no tubo;

-um é a velocidade média do fluido no tubo;

-f é o fator de atrito;

-L é o comprimento do tubo

A velocidade média pode ser expressa em termos da vazão mássica

u m = 4 m ˙ ρ π D 2

Assim

∆ p = f ρ 4 m ˙ π ρ D 2 2 2 D L

∆ p = f 8 π 2 m ˙ 2 ρ D 5 L

Podemos determinar f a partir de correlações empíricas ou a partir do diagrama de Moody.

Como Re>2500, se trata de escoamento turbulento, então podemos utilizar a seguinte correlação para f:

f = 0,79 ln ⁡ R e - 1,64 - 2

Aplicando o valor de Re:

f = 0,79 ln ⁡ 66754 - 1,64 - 2 = 0,0196

Calculando a queda de pressão:

Aplicando os valores

∆ p = 0,0196 8 π 2 0,05 k g s 2 1,12 k g m 3 0,05   m 5 2,5   m = 284,25 P a

Calculando a potência

W ˙ = 284,25 P a 0,05 k g s 1,12 k g m 3

W ˙ = 12,7   W

Passo 7

B)

Pela expressão já mostrada da taxa de transferência de calor

q = π L k N u ( T m , i - T S )

Podemos isolar L

L = q π k N u ( T m , i - T S )

Sendo que o valor de q é o mesmo, as temperaturas também são as mesmas, assim como o valor de k e Pr, a única alteração é o nº de Reynolds

Para D=40 mm:

R e = 4 0,05 k g s π 190,7 x 10 - 7 k g m s ( 0,0 4   m ) = 83766

N u = 0,023 83 7 66 0,8 0,702 0,3 = 179,5

Calculando o valor de L requerido para manter na mesma taxa de transferência de calor

L = 965   W π 27,3 x 10 - 3 W m K 179,5 ( 55 - 25 ) K = 2,1   m

Passo 8

A potência requerida para manter então na mesma taxa de transferência de calor, será calculada da mesma forma do item A), mas agora com os novos valores de L e Re

W ˙ = ∆ p m ˙ ρ

∆ p = f 8 π 2 m ˙ 2 ρ D 5 L

Encontrando o valor de f para o novo Re:

f = 0,79 ln ⁡ 83 7 66 - 1,64 - 2 = 0,0187

Aplicando os valores

∆ p = 0,0187 8 π 2 0,05 k g s 2 1,12 k g m 3 0,04   m 5 2,1   m = 693,4 P a

Calculando a potência

W ˙ = ( 693,4 P a ) 0,05 k g s 1,12 k g m 3

W ˙ = 31   W

Resposta

A)

T m , o = 347   K

q = 965 W

W ˙ = 12,7   W

B)

L = 2,1   m

W ˙ = 31   W

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