Enunciado

Ar a 40°C escoa em um sistema de tubos em que o diâmetro é reduzido em dois estágios de 25 mm para 15 mm e para 10 mm. Cada seção tem 2 m de comprimento. A medida que a vazão é aumentada, em qual seção o escoamento tornar-se-á turbulente primeiro? Determine as vazões nas quais uma, duas e, em seguida, as três seções tornam-se turbulentas em primeira instância. Para cada uma destas vazões, determine quais seções (se existir alguma) atingirão escoamento completamente desenvolvido.

Passo 1

Beleza! O primeiro passo nesse exercício é encontrar a expressão para a vazão nos três estágios para o sistema, para depois encontrarmos o comprimento do escoamento laminar e comparar com o comprimento total de cada seção. Dessa forma, sabemos que o número de Reynolds é dado por:

R e = V D ν

No entanto, podemos escrever a vazão como:

Q = V A → V = Q A = Q π D 2 4 → V = 4 Q π D 2

Substituindo essa expressão na equação de Reynolds e isolando a vazão, temos:

R e = 4 Q D ν π D 2 → Q = ν π D R e 4

Agora, sabemos que o número de Reynolds crítico para esse escoamento será:

R e c = 2300

Antes de começar os cálculos, devemos ir na tabela A.8 do apêndice A do livro e pegar o valor da viscosidade cinemática para o ar a 40°C, então, teremos:

ν = 1,69.10 - 5   m 2 / s

Então, agora, vamos substituir o valor dos diâmetros das tubulações para encontrar a vazão corresponde ao número de Reynolds crítico, então, teremos para as três tubulações:

Q 1 = 1,69.10 - 5 π 0,025 2300 4 → Q 1 = 7,63.10 - 4   m 3 / s

Q 2 = 1,69.10 - 5 π 0,015 2300 4 → Q 2 = 4,58 . 10 - 4   m 3 / s

Q 3 = 1,69.10 - 5 π 0,010 2300 4 → Q 3 = 3,05 . 10 - 4   m 3 / s

Então, como poderíamos imaginar, quanto menor o diâmetro da tubulação, para as mesmas condições, teremos a turbulência ocorrendo primeiro.

Passo 2

Vamos começar nossa análise pela tubulação de menor diâmetro. Então, teremos que o comprimento laminar será dado pela equação:

L 3 l a m i n a r = 0,06 R e 3 D 3

Então, substituindo os valores conhecidos, lembrando que o Reynolds será o crítico, temos:

L 3 l a m i n a r = 0,06 2300 0,01 → L 3 l a m i n a r = 1,38   m

Sob essa análise, como L 3 l a m i n a r < L , então o escoamento será totalmente desenvolvido. Agora analisando a relação entre comprimento mínimo e máximo, temos:

L 3 m i n = 25 D 3 = 25 0,01 → L 3 m i n = 0,25   m

L 3 m a x = 40 D 3 = 40 0,01 → L 3 m a x = 0,40   m

E a relação entre os dois comprimentos será:

L 3 m a x L 3 m i n = 0,40 0,25 → L 3 m a x L 3 m i n = 1,6

Então, como temos L 3 m a x / L 3 m i n < L , então o escoamento será totalmente desenvolvido.

Passo 3

Agora vamos repetir a análise feita no passo 2, só que para a tubulação com D 2 = 0,015   m . Então, teremos que o comprimento laminar será dado pela equação:

L 2 l a m i n a r = 0,06 R e 2 D 2

Então, substituindo os valores conhecidos, lembrando que o Reynolds será o crítico, temos:

L 2 l a m i n a r = 0,06 2300 0,015 → L 2 l a m i n a r = 2,07   m

Sob essa análise, como L 2 l a m i n a r > L , então o escoamento não será totalmente desenvolvido. Agora analisando a relação entre comprimento mínimo e máximo, temos:

L 2 m i n = 25 D 2 = 25 0,015 → L 2 m i n = 0,375   m

L 2 m a x = 40 D 2 = 40 0,015 → L 2 m a x = 0,6   m

E a relação entre os dois comprimentos será:

L 2 m a x L 2 m i n = 0,60 0,375 → L 2 m a x L 2 m i n = 1,6

Então, como temos L 2 m a x / L 2 m i n < L , então o escoamento será totalmente desenvolvido.

Passo 4

Agora, de novo, vamos repetir a análise feita no passo 2, só que para a tubulação com D 3 = 0,025   m . Então, teremos que o comprimento laminar será dado pela equação:

L 1 l a m i n a r = 0,06 R e 1 D 1

Então, substituindo os valores conhecidos, lembrando que o Reynolds será o crítico, temos:

L 1 l a m i n a r = 0,06 2300 0,025 → L 1 l a m i n a r = 3,45   m

Sob essa análise, como L 1 l a m i n a r > L , então o escoamento não será totalmente desenvolvido. Agora analisando a relação entre comprimento mínimo e máximo, temos:

L 1 m i n = 25 D 1 = 25 0,025 → L 1 m i n = 0,625   m

L 1 m a x = 40 D 1 = 40 0,025 → L 1 m a x = 1   m

E a relação entre os dois comprimentos será:

L 1 m a x L 1 m i n = 1 0,625 → L 1 m a x L 1 m i n = 1,6

Então, como temos L 1 m a x / L 1 m i n < L , então o escoamento será totalmente desenvolvido.

Resposta

D 3 = 10   m m → Q 3 = 3,05 . 10 - 4   m 3 / s

Q 1 = 7,63.10 - 4   m 3 / s ;   Q 2 = 4,58 . 10 - 4   m 3 / s ;   Q 3 = 3,05 . 10 - 4   m 3 / s

1 : n ã o   é   t o t a l m e n t e   d e s e n v o l v i d o

2 : n ã o   é   t o t a l m e n t e   d e s e n v o l v i d o

3 : t o t a l m e n t e   d e s e n v o l v i d o

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