Enunciado

5.55 Expanda ( V → ⋅ ∇ ) V → em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida. Verifique os resultados dados nas Eqs. 5.11.

Passo 1

O operador , em coordenadas retangulares, é definido como

∇ = ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ + ∂ ∂ z k ^

E o vetor velocidade definimos como

V → = u i ^ + v j ^ + w k ^

Vamos fazer primeiro o produto interno desses dois vetores

V → ⋅ ∇ = ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ + ∂ ∂ z k ^ ⋅ u i ^ + v j ^ + w k ^

V → ⋅ ∇ = u ∂ ∂ x + v ∂ ∂ y + w ∂ ∂ z

Prestando atenção que o produto escalar dá origem a um escalar, então multiplicando ele pelo vetor velocidade, ficamos com

V → ⋅ ∇ V → = u ∂ ∂ x + v ∂ ∂ y + w ∂ ∂ z u i ^ + v j ^ + w k ^

Fazendo a distributiva

V → ⋅ ∇ V → =   u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z i ^ + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z j ^ + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z k ^

Passo 2

As componentes da aceleração convectivas são

a x , c o n v =   u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

a y , c o n v =   u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z

a z , c o n v = u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

Sendo assim, está verificado e está correto.

Resposta

V → ⋅ ∇ V → =   u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z i ^ + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z j ^ + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z k ^

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