Enunciado

5.95 Considere um microcanal plano com largua h, conforme mostrado (o microcanal realmente é muito longo na direação x e aberto em ambas extremidades). Um sistema de coordenadas Cartesianas com a sua orgiem posicionada no centro do microcanal é usado neste estudo. O microcanal é preenchido com uma solução de baixa conditividade elétrica. Quando uma corrente elétrica é aplicada através das duas parades condutivas, a densidade de corrente elétrica, J → , transmitida através da solução é paralela ao eixo y. Todo este dispositivo é colocado em um campo magnético constante, B → , que está apontando para fora do plano xy (a direação z), como mostrado. A interação entre a densidade de corrente elétrica e o campo magnético induz uma força de Lorentz de densidade J → × B → . Considere que a solução condutiva é incompressível, e uma vez que o volume de amostragem é muito pequeno em aplicações em um laboratório integrado em um chip a força de campo gravitacional pode ser desprezada. Em regime permanente, o escoamento acionado pela força de Lorentz é descrito pela equação da continuidade (Eq. 5.1a) e pelas equações de Navier-Stokes (Eqs. 5.27), exceto as componentes x, u e z, das equações de Navier-Stokes que possuem componentes da força de Lorentz extra no lado direito. Considerando que o escoamento é completamente desenvolvido e que o campo de velocidade V → é uma função somente de y, determine as três componentes da velocidade.

Passo 1

A equação da continuidade para escoamento bidimensional:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

E a equação de quantidade de movimento:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + J B

ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y = - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2

Passo 2

Simplificando as equações com v = 0 :

∂ u ∂ x = 0

u = u y

Considerando o gradiente de pressão igual a zero, a equação de quantidade de movimento se reduz a:

0 = μ d 2 u d y 2 + J B

Separando as variáveis e integrando em relação a y:

d u d y = - J B μ y + C 1

De novo:

u = - J B μ y 2 2 + C 1 y + C 2

Passo 3

Aplicando as condições de contorno:

Em y = - h / 2 :

u - h 2 = 0

0 = - J B μ - h 2 2 2 + C 1 - h 2 + C 2

0 = - J B μ h 2 8 - C 1 h 2 + C 2

Em y = h / 2 :

u h 2 = 0

0 = - J B μ h 2 2 2 + C 1 h 2 + C 2

0 = - J B μ h 2 8 + C 1 h 2 + C 2

Resolvendo o sisteminha:

0 = - J B μ h 2 8 - C 1 h 2 + C 2 0 = - J B μ h 2 8 + C 1 h 2 + C 2

C 1 = 0

2 C 2 = 2 J B μ h 2 8

C 2 = J B μ h 2 8

A velocidade, então:

u = - J B μ y 2 2 + J B μ h 2 8

Resposta

u = - J B μ y 2 2 + J B μ h 2 8

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