Enunciado

Água a 20 0 C deve ser bombeada de um reservatório ( z A = 2   m ) para outro reservatório a uma elevação mais alta ( z B = 9   m ) através de dois tubos de plástico com 25 m de comprimento conectados em paralelo. Os diâmetros dos dois tubos são 3 cm e 5 cm. A água deve ser bombeada por uma unidade de bomba-motor com eficiência de 68%, que consome 7kW de energia elétrica durante a operação. As perdas menores e a perda de carga dos tubos que conectam os tubos paralelos aos dois reservatórios são consideradas desprezíveis. Determine a vazão total entre os reservatórios e as vazões através de cada um dos tubos paralelos.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Primeiramente, para o problema, assumimos que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. Os efeitos de entrada são insignificantes e, portanto, o fluxo é totalmente desenvolvido.

3. As elevações dos reservatórios permanecem constantes.

4. As perdas menores e a perda de carga em tubulações que não sejam os tubos paralelos são considerados insignificantes, como informa o enunciado.

5. Definimos que os fluxos através ambos os tubos são turbulentos (a serem verificados).

6. Tubos de plástico são lisos e sua rugosidade é zero, ε = 0.

E se observarmos atentamente, vamos ver que este problema não pode ser resolvido diretamente, pois as velocidades (ou vazões) nos tubos não são conhecidas. Portanto, normalmente usaremos uma abordagem de tentativa e erro aqui.

Passo 2

Inicialmente, a potência fornecida pela bomba é informada por:

W ˙ e l e t r = ρ V ˙ g h b o m b a η b o m b a - m o t o r                   → 7000   W = 998 k g m 3 ⋅ V ˙ ⋅ 9,81 m s 2 ⋅ h b o m b a 0,68

Para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga:

P 1 ρ ∙ g +   α 1 ∙ V 1 2 2 g + z 1 + h b o m b a =   P 2 ρ ∙ g +   α 2 ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h L                   ( 1 )

Do problema, temos:

z A = 2 m   |   z B = 9   m   ρ = 998   k g m 3   μ = 1,002 * 10 - 3 N s m     D 1 = 3 c m     D 2 = 5 c m  

η b o m - m o t = 0,68       W ˙ e l e t = 7   k W  

Obs: propriedades da água à 20 0 C , Tabela A.3 do livro.

Enfim, escolhemos os pontos A e B nas superfícies livres dos dois reservatórios para a análise.

Observando que o fluido nos dois pontos está aberto para o atmosfera (e, portanto ,   P A = P B = P a t m ) e que as velocidades do fluido nos dois pontos são zero ( V A = V B = 0 ), a equação da energia (Eq. 1) para um volume de controle entre esses dois pontos simplifica:

h b o m b a = 9 - 2 + h L

Passo 3

Designamos o tubo de 3 cm de diâmetro por 1 e o tubo de 5 cm de diâmetro por 2. A velocidade média, número de Reynolds, fator de atrito e a perda de carga em cada tubo são expressos como:

V 1 = V 1 ˙ A 1 = V 1 ˙ π D 1 2 / 4                               → V 1 = V 1 ˙ π ( 0,03   m ) ² / 4

V 2 = V 2 ˙ A 2 = V 2 ˙ π D 2 2 / 4                               → V 2 = V 2 ˙ π ( 0,05   m ) ² / 4

Agora, o número de Reynolds em cada tubo é expresso como:

R e 1 = ρ V 1 D 1 μ                             → R e 1 = 998 k g / m ³ ⋅ V 1 ⋅ 0,03 1,002 ⋅ 10 - 3 k g / m s

R e 2 = ρ V 2 D 2 μ                                 → R e 2 = 998 k g / m ³ ⋅ V 2 ⋅ 0,05 1,002 ⋅ 10 - 3 k g / m s

E o fator de atrito em cada tubo é expresso como:

1 f 1 = - 2 ∙ log ⁡ e D 1 3,7 + 2,51 R e 1 ∙ f 1               → 1 f 1 = - 2 ∙ log ⁡ 2,51 R e 1 ∙ f 1

1 f 2 = - 2 ∙ log ⁡ e D 2 3,7 + 2,51 R e 2 ∙ f 2               → 1 f 2 = - 2 ∙ log ⁡ 2,51 R e 2 ∙ f 2

Por fim, a perda de carga em cada tubo é expressa como:

h L , 1 = f 1 L 1 D 1 V 1 2 2 g                           → h L , 1 = f 1 25   m 0,03   m ⋅ V 1 2 2 ⋅ 9,81 m / s ²

h L , 2 = f 2 L 2 D 2 V 2 2 2 g                           → h L , 2 = f 2 25   m 0,03   m ⋅ V 2 2 2 ⋅ 9,81 m / s ²

Então, podemos perceber que as correlações dependem das velocidades 1 e 2, para finalmente encontrarmos os valores das vazões em cada tanque.

Passo 4

Portanto, as equações formam um conjunto de equações simultâneas, nas quais podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

A solução utiliza a ferramenta Solve, que consiste em assumir valores iniciais para as velocidades 1 e 2, e o cálculo das demais variáveis ocorre, retornando a um novo valor das velocidades em 1 e 2.

Então, esse processo é feito até os valores das velocidades 1 e 2 supostas no início coincidirem com as do resultado final, ou com um erro bem pequeno.

Realizando esse processo na ferramenta descrita, encontramos que:

V 1 = 5,30 m s       ;       V 2 = 7,42 m s     ;         h L = 19,5   m           ;       h b o m b a = 26,5   m

R e 1 = 158300               ;           R e 2 = 369700               ;             f 1 = 0,0164                 ;             f 2 = 0,0139

E

V 1 ˙ = 0,0037 m 3 s   ;     V 2 ˙ = 0,0146 m 3 s     ; V ˙ = V 1 ˙ + V 2 ˙   → V ˙ = 0,0183 m 3 s

Obs: Os números de Reynolds respectivos estão na ordem de R e > 2300 , portanto a verificação se o regime é turbulento foi realizada.

Resposta

Portanto:

V 1 ˙ = 0,0037 m 3 s   ;     V 2 ˙ = 0,0146 m 3 s     ;       V ˙ = 0,0183 m 3 s

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