Água em 60∘ C flui entre duas grandes placas planas. A placa inferior se move para a esquerda a uma velocidade de 0,3m/s; a placa superior é estacionária. O espaçamento das placas é de 3mm, e o fluxo é laminar. Determine o gradiente de pressão necessário para produzir fluxo líquido nulo em uma seção transversal

Passo 1

Solução:

Aplique a equação do momento usando cv e as coordenadas mostradas

Equações básicas: = o ( 1 ) = o ( 2 ) = α ( 3 )

F s x + F B x = ∂ A ∂ t ∫ c v   u p d v + ∫ c s   u p v → ⋅ d A → , τ = τ y x = μ d u d y

Passo 2

Suposição:

( 1 )   F B x = 0

(2) fluxo constante

(3) fluxo totalmente desenvolvido

(4) fluido newtoniano

Então F 5 x = 0 . Substituir os termos de força (consulte a página 315 para obter detalhes) fornece

∂ p ∂ x = d τ y x d y = d d y μ d u d y = μ d 2 u d y 2   o u   d 2 u d y 2 = 1 u ∂ p ∂ x

Integrativo duas vezes

u = 1 2 μ ∂ 1 ∂ x y 2 + c 1 y + c 2

Passo 3

Para avaliar as constantes c 1 e c 2 ,, devemos usar as condições de contorno. No y = 0 , u = - L , então c 2 = - U . No y = 6 , u = 0 ,

0 = 1 2 μ ∂ p ∂ x b 2 + c , b - U ou c 1 = U b - 1 2 μ ∂ p ∂ x b

Então u = 1 2 μ ∂ p ∂ x y 2 - b y + σ y b - 1

Para encontrar a vazão, integramos a taxa

Q ω = ∫ 0 b   u d y = ∫ 0 b   1 2 μ ∂ p ∂ x y 2 - b y + C y b - 1 d y = - 1 12 μ ∂ p ∂ x b 3 - U b 2

P a r a   Q = 0 ,   c o m   μ = 4.63 × 10 - 4 N ⋅ s m 2   d a   t a b e l a   A . 8 ,

∂ p ∂ x = - 6 U μ b 2 = - 6 x 0.3 3 m s × 4.63 × 10 - 4 N ⋅ s m 2 × 1 ( 0.003 ) 2 m 2 = - 92.6 N / m 2 m

Assim, a pressão deve diminuir na direção x para o fluxo zero líquido.

Resposta

= - 92.6 N / m 2 m