Água entra em um canal quadrado de 4 in, conforme mostrado, a uma velocidade de 10 ft/s. O canal converge para uma configuração quadrada de 2 in, como mostrado na descarga. A seção de saída é cortada em 30o em relação à vertical, conforme mostrado, mas a velocidade média de descarga da água permanece horizontal. Encontre a velocidade média de saída da água e a taxa volumétrica total.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escrevendo a expressão da equação da continuidade na forma escalar:

∫ ∫ c ,   s ρ v - ⋅ n - d A = - ∫ ∫ A 1 ρ v d A + ∫ ∫ A 2 ρ v d A = 0

Aqui, temos:

1. vetor velocidade é v -

2. vetor unitário normal é n -

3. pequeno elemento de área no volume de controle de superfície é d A

4. velocidade é v

5. densidade é ρ

Rearranjando a equação, temos:

∫ ∫ c ,   s ρ v - ⋅ n - d A = - ∫ ∫ A 1 ρ v d A + ∫ ∫ A 2 ρ v cos ⁡ 30 ° d A = 0

Passo 2

Integrando a última equação que obtemos no Passo 1

ρ 1 v 1 A 1 = ρ 2 v 2 A 2 cos ⁡ 30 °

→ v 2 = ρ 1 v 1 A 1 ρ 2 A 2 cos ⁡ 30 °

∴ v 2 = 2 ρ 1 v 1 A 1 ρ 2 A 2 3

Aqui, temos:

1. densidade no interior e exterior ρ 1 e ρ 2 , respectivamente

2. velocidade da água no interior e exterior v 1 e v 2 , respectivamente

3. área no interior e exterior A 1 e A 2 , respectivamente

Já que densidade no interior é igual a densidade no exterior, rearranjando a Equação que obtemos nesse passo

v 2 = 2 v 1 A 1 A 2 3

Passo 3

Substituindo A 1 = 4 A 2 e v = 10   f t / s na equação obtida no final do Passo 2

v 2 = 2 10   f t / s 4 A 2 A 2 3

→ v 2 = 80 3

∴ v 2 = 46,2   ft / s

Passo 4

Calculando a taxa total do escoamento

Q = A v

Substituindo v = 10   f t / s e A = 1 3 ⋅ 1 3 f t 2

Q = 10   f t / s 1 3 ⋅ 1 3 f t 2

∴ Q = 1,11   f t 3 / s

Resposta

v 2 = 46,2   ft / s

Q = 1,11   f t 3 / s