Enunciado

Água escoa, com baixa velocidade, através de um tubo circular com diâmetro interno de 50 mm. Um tampão arredondado e liso, de 38 mm de diâmetro, é mantido na extremidade do tubo onde a água é descarregada para a atmosfera. Ignore efeitos de atrito e considere perfis uniformes de velocidade em cada seção. Determine a pressão medida pelo manômetro e a força requerida para manter o tampão no lugar.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar o exercício aplicando a equação de Bernoulli entre o ponto no escoamento (1) e a saída de fluido (2):

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Como o enunciado não mencionou, podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 . E como a saída está exposta a atmosfera, então temos p 2 = p a t m = 0 e dessa forma iremos obter uma pressão p 1 manométrica. Então, reescrevendo a equação, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 = v 2 2 2 → p 1 = ρ 2 ( v 2 2 - v 1 2 )

Agora, podemos aplicar o princípio da continuidade para o sistema e igualar as vazões na tubulação e na saída, então:

Q 1 = Q 2 → v 1 A 1 = v 2 A 2 → v 1 π D 2 4 = v 2 π D 2 - d 2 4 → v 2 = v 1 D 2 D 2 - d 2

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

v 2 = 6 0,05 2 0,05 2 - 0,038 2 → v 2 = 14,2   m / s

Passo 2

Agora podemos retornar à equação da pressão p 1 do passo 1 e substituir os valores conhecidos:

p 1 = ρ 2 v 2 2 - v 1 2 = 999 2 14,2 2 - 6 2 → p 1 = 82801,7   P a

Passo 3

Agora para encontrar a força requerida para manter o tampão no lugar, vamos aplicar o equilíbrio de momento, da equação 4.18a para o sistema, a equação tem a forma:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Nesse exercício, como temos regime permanente, então podemos desconsiderar o termo com a derivada no tempo. Iremos desprezar também as forças de campo na direção x , de modo que F B x = 0 . Então a equação se torna:

- F + p 1 A 1 - p 2 A 2 = u 1 - ρ v 1 A 1 + u 2 ( ρ v 2 A 2 )

Nesse caso, como estamos usando pressões manométricas, então p 2 = 0 . Sabemos também que u 1 = v 1 e que u 2 = v 2 , então, reescrevendo a equação, temos:

- F + p 1 π D 2 4 = - ρ v 1 2 π D 2 4 + ρ v 2 2 π D 2 - d 2 4

Substituindo os valores conhecidos:

- F + 82801,7 π 0,05 2 4 = - 999 6 2 π 0,05 2 4 + 999 14,2 2 π 0,05 2 - 0,038 2 4

- F + 162,6 = - 70,6 + 167,1 → F = 66,1   N

Resposta

p 1 = 82801,7   P a

F = 66,1   N

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