Água está escoando por um grande conduto circular, com um perfil de velocidades dado pela equação v = 9(1 – r2/16) ft/s. Qual é a velocidade média da água em um tubo de 1,5 ft?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escrevendo a expressão integral para o balanço de massa passa o controle de volume geral

∫ ∫ c ,   s ρ v - ⋅ n - d A + d d t ∫ ∫ ∫ c ,   v ρ d V = 0

Aqui, temos que

1. vetor velocidade é v -

2. vetor normal de unidade n -

3. elemento pequeno de área na superfície de controle é d A

4. elemento pequeno de volume na superfície de controle é d V

5. densidade é ρ

Já que o escoamento de água é constante através de um condutor circular grande com um perfil de velocidade, o termo de acumulação vai ser zero

∴ d d t ∫ ∫ ∫ c ,   v ρ d V = 0

Passo 2

Rearranjando a primeira equação do Passo 1 na média de velocidade da água

∫ ∫ c ,   s ρ v - ⋅ n - d A = ρ v 2 m e d A 2 - ∫ 0 R ρ g 1 - r 16 2 π r d r = 0

Aqui, temos que:

1. velocidade média da água é v 2 m e d

2. seção transversal do conduto circular é A

3. aceleração devido a gravidade é g

4. a distância radial da superfície interna da área circular é R

5. a distância radial é r

Passo 3

Substituindo R = 4 , e calculando a velocidade média da água

v 2 m e d A 2 = ∫ 0 R g 1 - r 2 16 2 π r d r

→ v 2 m e d A 2 = 18 π ∫ 0 4 1 - r 2 16 d r

→ v 2 m e d A 2 = 18 π r 2 2 - r 4 64 0 4

→ v 2 m e d A 2 = 72 π

→ v 2 m e d = 72 π A 2

∴ v 2 m e d = 72 π π 4 d 2

Passo 4

Substituindo d = 1,5   ft e calculando a velocidade média da água

v 2 m e d = 72 π π 4 1,5 2

∴ v 2 m e d = 128   f t / s

Resposta

v 2 m e d = 128   f t / s