Enunciado

Água é fervida no nível do mar em uma cafeteira equipada com elemento de aquecimento elétrico do tipo imersão, feito de cobre polido mecanicamente, com 30 cm de comprimento e 0,4 cm de diâmetro. A cafeteira contém inicialmente 1 L de água a 14°C. Depois de começar a ferver, observa-se que metade da água na cafeteira evapora em 32 min. Determine a potência do elemento de aquecimento elétrico imerso na água e a temperatura da superfície do elemento de aquecimento. Determine também o tempo necessário para esse aquecedor elevar a temperatura de 1 L de água de 14°C até a temperatura de ebulição.

Passo 1

Vamos reunir nossas informações. Sabemos que o aquecedor é feito de cobre polido mecanicamente e tem dimensões L = 0,3 m e D = 0,004 m. A água tem uma temperatura inicial de 14°C e um volume inicial de 1L. Logo após começar a ferver, metade da água evapora em um tempo t = 32 min (que vamos transformar em segundos nos cálculos). O exercício pede para determinar a potência do aquecedor e, a partir desta informação, a temperatura da superfície e calcular o tempo para aquecer a água de 14°C até 100°C.

O que vamos fazer é: usar a densidade da água a 14°C para obter a massa inicial; aplicar a equação q ˙ = m x ∆ H e v t para encontrar a potência do aquecedor; igualar a potência com a equação de taxa de transferência de calor por ebulição nucleada para obter a temperatura da superfície; utilizar q ˙ = m x c p x ∆ T t para conseguir o tempo necessário para aquecer a água de 14°C até 100°C. Tudo bem? Vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos começar calculando a massa inicial de água. Para isso precisamos da densidade da água em 14°C:

ρ 14 = 999,22   k g / m 3

Sabendo que inicialmente temos 1 L de água:

ρ = m V

m = ρ x V

m = 999,22 x 10 - 3

m = 0,999   k g = 1   k g

Então, metade da água equivale a 0,5 kg. Conhecendo a massa de água que evaporou em 32 min temos condições de determinar a potência do aquecedor:

q ˙ = m x ∆ H e v t

A entalpia de evaporação da água a 100°C é:

∆ H e v = 2.257.000   J / k g

Portanto:

q ˙ = 0,5 x 2.257.000 32 x 60

q ˙ = 587,8   W

Passo 3

Agora que temos a taxa de calor transferida pelo aquecedor vamos igualar este valor com a taxa de calor por ebulição nucleada para obter a temperatura da superfície do elemento de aquecimento T s . Mas antes vamos esquematizar as propriedades da água líquida e do vapor em 100°C:

ρ L = 957,9   k g / m 3

ρ V = 0,5978   k g / m 3

μ L = 0,282 x 10 - 3   k g / m . s

c p L = 4.217   J / k g . K

P r L = 1,75

Pronto. A taxa de calor por ebulição nucleada é dada por:

q ˙ n u c l e a d a = A x μ L x ∆ H e v x g ρ L - ρ V σ 1 2 x c p L T s - T ∞ C s f x ∆ H e v x P r L n   3

q ˙ n u c l e a d a = π x D x L x μ L x ∆ H e v x g ρ L - ρ V σ 1 2 x c p L C s f x ∆ H e v x P r L n   3 T s - T ∞ 3

Já temos quase todos os dados, vamos aos que faltam:

σ é a tensão superficial entre as fases líquido e vapor. Para água a 100°C σ = 0,0589 N/m; As constantes C s f e n dependem do material do aquecedor. Para cobre polido, C s f = 0,0130 e n = 1. Voltando para a equação:

q ˙ n u c l e a d a = π x D x L x μ L x ∆ H e v x g ρ L - ρ V σ 1 2 x c p L C s f x ∆ H e v x P r L n   3 T s - T ∞ 3

T s - T ∞ 3 = q ˙ n u c l e a d a π x D x L x μ L x ∆ H e v x g ρ L - ρ V σ 1 2 x c p L C s f x ∆ H e v x P r L n   3

T s - T ∞ = q ˙ n u c l e a d a π x D x L x μ L x ∆ H e v x g ρ L - ρ V σ 1 2 x c p L C s f x ∆ H e v x P r L n   3 1 / 3

T s = T ∞ + q ˙ n u c l e a d a π x D x L x μ L x ∆ H e v x g ρ L - ρ V σ 1 2 x c p L C s f x ∆ H e v x P r L n   3 1 / 3

T s = 100 + 587,8 π x 0,004 x 0,3 x 0,282 x 10 - 3 x 2.257.000 x 9,81 x 957,9 - 0,5978 0,0589 1 2 x 4.217 0,0130 x 2.257.000 x 1,75   3 1 / 3

T s = 110,3   ° C

A última coisa que o exercício pede é para determinar o tempo que o aquecedor leva para aquecer 1L de água (que como vimos é equivalente a 1 kg) de 14°C até 100°C. Para isso vamos utilizar a equação:

q ˙ = m x c p x ∆ T t

Mas antes precisamos do c p na temperatura média entre 14°C e 100°C.

A temperatura média é:

T m = 100 + 14 2 = 57 ° C

Nesta temperatura:

c p L = 4.183,8   J / k g K

Então:

q ˙ = m x c p x ∆ T t

t = m x c p x ∆ T q ˙

t = 1 x 4.183,8 x 100 - 14 587,8

t = 612,1   s = 10,2   m i n

Resposta

A potência do aquecedor é q ˙ = 587,8   W e sua temperatura é de T s = 110,3   ° C . O tempo para que a água atinja 100°C é t = 10,2   m i n .

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