A água do mar, ρ = 1025 kg/m3, escoa através de uma bomba com uma vazão de 0,21 m3/s. A entrada da bomba tem um diâmetro de 0,25 m. Na entrada, a pressão é –0,15 m de mercúrio. A saída da bomba, com um diâmetro de 0,152 m, está 1,8 m acima da entrada. A pressão na saída é 175 kPa. Se as temperaturas de entrada e de saída forem iguais, qual será a potência que a bomba adiciona ao fluido?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escrevendo a fórmula para a pressão na entrada P 1

P 1 = ρ m g H

Onde:

1. densidade do mercúrio, ρ m

2. aceleração gravitacional, g

3. cabeça de pressão do mercúrio, H

Substituindo os valores que o enunciado dá pra gente:

P 1 = 13600   k g / m 3 9,8   m / s 2 - 0,15   m

∴ P 1 = 19,992   k P a

Passo 2

Para uma equação de escoamento permanente a taxa de calor perdido e a taxa de trabalho cisalhante é zero, ou seja:

∂ Q d t = ∂ W μ d t = 0

Escrevendo a equação de energia do processo para a potência total adicionada à bomba

- ∂ W d t = ∬ c , s ρ e + P ρ v ⋅ n d A

Aqui, temos:

1. densidade da água do mar, ρ

2. energia específica total, e

3. pressão, p

4. vetor de velocidade, v

5. vetor normal, n

6. área, A

Passo 3

Reescrevendo a equação de energia para a taxa de trabalho feito

- ∂ W s d t = m ˙ u 2 - u 1 + P 2 - P 1 ρ + v 2 2 - v 1 2 2 + g y 2 - y 1

Aqui, temos:

1. trabalho da haste, W s

2. energia interna específica na saída, u 2

3. energia interna específica na entrada, u 1

4. pressão na saída, P 2

5. velocidade na saída, v 2

6. velocidade na entrada, v 1

7. energia cinética entra entrada e saída, y 2 - y 1

Passo 4

Escrevendo a fórmula para a taxa de vazão mássica m ˙

m ˙ = ρ V ˙

Aqui, V ˙ é a taxa de fluxo volumétrico

Substituindo ρ = 1025   k g / m 3 e V ˙ = 0,21   m 3

m ˙ = 1025   k g / m 3 0,21   m 3 / s

∴ m ˙ = 215,25   k g / s

Passo 5

Escrevendo a fórmula para a velocidade na entrada v 1

v 1 = V ˙ A 1 = V ˙ π 4 d 1 2

Aqui, A é a área na entrada e d 1 é o diâmetro na entrada

Substituindo V ˙ = 0,21   m 3 / s e d 1 = 0,25   m

v 1 = 0,21   m 3 / s π 4 0,25   m 2

∴ v 1 = 4,278   m / s

Passo 6

Escrevendo a fórmula para a velocidade na entrada v 2

v 2 = V ˙ A 2 = V ˙ π 4 d 2 2

Aqui, A é a área na entrada e d 2 é o diâmetro na saída

Substituindo V ˙ = 0,21   m 3 / s e d 1 = 0,152   m

v 2 = 0,21   m 3 / s π 4 0 , 152   m 2

∴ v 2 = 11,573   m / s

Passo 7

As temperaturas na entrada e na saída são iguais.

Então, a mudança na energia interna é zero

u 2 - u 1 = 0

Passo 8

Reescrevendo a equação e substituindo os resultados obtidos:

- ∂ W s d t = m ˙ u 2 - u 1 + P 2 - P 1 ρ + v 2 2 - v 1 2 2 + g y 2 - y 1

→ - ∂ W s d t = 215,25   k g / s 175 + 19,99   k P a 1025   k g / m 3 + 11,573 2 - 4,278 2 m / s 2 2 + 9,8   m / s 2 1,8   m

∴ - ∂ W s d t = 16,28   k W

Resposta

- ∂ W s d t = 16,28   k W