Aplique a lei de conservação da massa a um elemento em um sistema de coordenadas polares e obtenha a equação da continuidade para um escoamento estacionário, bidimensional e incompressível.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A figura abaixo mostra um esquemático de controle de volume 2D para um escoamento incompressível e permanente

Passo 2

Para o diagrama mostrado:

A D = B C = d r

→ A B = r d θ

→ C D = r + d r d

De acordo com a lei de conservação de massa:

∬ ρ v ⋅ n d A + ∂ ∂ t ∭ ρ d V = 0

Aqui, o fluxo de massa em cada face do controle de volume é ρ v ⋅ n e o passo de tempo da mudança de massa dentro do volume de controle é ρ d V

Passo 3

O ganho total na massa deve ser igual a taxa de mudança da massa do fluido no elemento A B C D e é dado por:

∬ ρ v ⋅ n d A + ∂ ∂ t ∭ ρ d V = ∂ ∂ t  density  ×  volume  d t = ∂ ∂ t f r d θ + r + d r d θ 2 d t

→ ∬ ρ v ⋅ n d A + ∂ ∂ t ∭ ρ d V ≃ d d t f r d θ d r d t

→ ∂ ∂ t f r d θ d r d t = - f v r + ∂ ∂ r f v r r + ∂ ∂ θ f v θ d r d θ d t

→ ∂ ∂ t f r d θ d r + f v r + ∂ ∂ r f v r r + ∂ ∂ θ f v θ d r d θ = 0

Mas é sabido que para um escoamento permanente ∂ / ∂ t = 0 , então:

∴ f v r + ∂ ∂ r f v r r + ∂ ∂ θ f v θ d r d θ = 0

Passo 4

Para um escoamento incompressível, f = constante

v r + ∂ ∂ r v r r + ∂ ∂ θ v θ = 0

Então a equação da continuidade em coordenadas polar para um escoamento permanente e incompressível

∂ ∂ r r v r + ∂ ∂ θ v θ = 0

Resposta

∂ ∂ r r v r + ∂ ∂ θ v θ = 0