Enunciado

Para a aproximação linear do Problema 10 - 83 , use a definição de coeficiente local de atrito superficial e a equação integral de Kárman para gera uma expressão para δ / x . Compare o seu resultado com a expressão de Blasius para δ / x . (Sugestão: Para resolver esse problema você precisará dos resultados do Problema 10 - 83 )

Passo 1

Lembrando que a aproximação linear da questão passada é dada como:

u = U y δ para y < δ e u = U para y > δ

E calma a solução e vermos no livro o que é esse tal de integral de Kárman

E com isso vemos que na página 473 (da primeira edição) nós temos que o coeficiente local de atrito superficial é dado por:

C f , x = τ w 1 2 ρ U 2 = 2 d θ d x

Onde a parcela 2 d θ d x é a equação integral de Kármán sobre uma placa plana (o que é justamente o que viemos procurar)

Só que de capítulos passados sabemos que a tensão de cisalhamento é escrita por:

τ = μ d u d y

Com u sendo a velocidade do fluido em questão, portanto se substituirmos na equação do coeficiente local de atrito superficial nós temos:

μ 1 2 ρ U 2 d u d y = 2 d θ d x

Arrumando a casa um pouco nós temos:

μ ρ U 2 d u d y = d θ d x

Agora fazendo a substituição u = U y δ para y < δ , nós temos:

μ ρ U 2 d U y δ d y = d θ d x

Fazendo a derivada de U y / δ   em relação a y nós temos:

μ ρ U 2 U d y d y δ   = d θ d x

μ ρ U δ = d θ d x   ( 1 )

Passo 2

Só que da questão passada vimos que a aproximação linear dada nos dá:

θ δ = 1 6

Então:

d θ d δ = 1 6

d θ = 1 6 d δ

Aplicando na equação (1) temos:

C f , x = 6 μ ρ U δ = d δ d x  

Podemos separar as variáveis e integrar agora:

6 μ ρ U d x = δ d δ

Integrando os dois lados:

6 μ x ρ U = δ 2 2

δ = 12 μ x ρ U

Mas note que R e x = ρ U x μ , então se forçarmos um Reynolds daí temos:

δ = 12 μ x 2 ρ U x = x 12 R e x  

δ x = 3.46 R e x

Comparando com a solução de Blasius onde vimos que para u U = 0.99 temos:

δ x = 4.91 R e x  

Nós notamos um erro de:

e r r o = | 3.46 - 4.91 | 4.91 = 29.45 %

Resposta

δ x = 4.91 R e x  

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