Uma aproximação útil para a componente da velocidade em uma camada limite laminar e incompressível é uma variação parabólica de na superfície () até a velocidade de corrente livre, , na borda da camada limite (). A equação do perfil é , onde , sendo uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente da velocidade é
Trace em função de e determine o local do máximo valor da razão . Determine a razão onde e .
Passo 1
Vamos entender o que o autor quis dizer. A questão nos deu a equação de uma camada limite laminar:
E pediu para a gente mostrar que a expressão mais simples para a componente é essa:
Em seguida, plotar o gráfico versus , encontrar o ponto de máximo em , se .
Vamos por partes! Primeiro precisamos assumir que este é um fluido incompressível, ou seja, , e um escoamento bidimensional, então a componente
Assim, a equação da continuidade assume a forma:
Isso implica que
Então precisamos conhecer o para encontrar a componente da velocidade.
Passo 2
Pela regra da Cadeia,
Sendo , vamos derivar essa equação do perfil de velocidade que nos foi dada em relação a primeiro.
Agora derivando a equação em relação em relação a :
Percebe que agora temos ? Então vamos juntar tudo.
Passo 3
Como
Então
Passo 4
Agora podemos voltar ao final do nosso Passo 1 e realizar aquela integração.
Isso vai nos dar infinitas soluções, mas a questão nos pede a mais simples, que acontece quando . Integrando,
Passo 5
Analisando o local do máximo valor da razão , temos que isso ocorre em
Então
Para e :
Resposta
E