Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camada limite laminar e incompressível é uma variação parabólica de u = 0 na superfície ( y = 0 ) até a velocidade de corrente livre, U , na borda da camada limite ( y = δ ). A equação do perfil é u U = 2 y δ - y δ 2 , onde δ = c x 1 2 , sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é

v U = δ x 1 2 y δ 2 - 1 3 y δ 3

Trace v U em função de y δ e determine o local do máximo valor da razão v U . Determine a razão onde δ = 5   m m e x = 0,5   m .

Passo 1

Vamos entender o que o autor quis dizer. A questão nos deu a equação de uma camada limite laminar:

u U = 2 y δ - y δ 2 ,                                           δ = c x 1 2  

E pediu para a gente mostrar que a expressão mais simples para a componente y é essa:

v U = δ x 1 2 y δ 2 - 1 3 y δ 3

Em seguida, plotar o gráfico v U versus y δ , encontrar o ponto de máximo em x = 0,5   m , se δ = 5   m m .

Vamos por partes! Primeiro precisamos assumir que este é um fluido incompressível, ou seja, ρ = c o n s t a n t e , e um escoamento bidimensional, então a componente w = 0 .

Assim, a equação da continuidade assume a forma:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Isso implica que

∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x

→                   v = ∫ 0 y - ∂ u ∂ x d y + f ( x )

Então precisamos conhecer o ∂ u ∂ x para encontrar a componente v da velocidade.

Passo 2

Pela regra da Cadeia,

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ δ ∂ δ ∂ x

Sendo u = U 2 y δ - y δ 2 , vamos derivar essa equação do perfil de velocidade que nos foi dada em relação a δ primeiro.

∂ u ∂ δ = ∂ ∂ δ U 2 y δ - y δ 2

∂ u ∂ δ = U - 2 y δ 2 + 2 y 2 δ 3

Agora derivando a equação em relação δ = c x 1 2 em relação a x :

∂ δ ∂ x = ∂ ∂ x c x 1 2    

∂ δ ∂ x = 1 2 c x 1 2 = c x 1 2 2 x = δ 2 x

Percebe que agora temos ∂ u ∂ x ? Então vamos juntar tudo.

Passo 3

Como

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ δ ∂ δ ∂ x

Então

∂ u ∂ x =   U - 2 y δ 2 + 2 y 2 δ 3 ∙ δ 2 x

→                 ∂ u ∂ x = U δ x y 2 δ 3 - y δ 2

Passo 4

Agora podemos voltar ao final do nosso Passo 1 e realizar aquela integração.

v = ∫ 0 y - ∂ u ∂ x d y + f ( x )

Isso vai nos dar infinitas soluções, mas a questão nos pede a mais simples, que acontece quando f x = 0 . Integrando,

v U = δ x ∫ 0 y y δ 2 - y 2 δ 3 d y

v U = δ x 1 2 y δ 2 - 1 3 y δ 3

Passo 5

Analisando o local do máximo valor da razão v U , temos que isso ocorre em

y δ = 1

Então

v U M á x = v U y δ = 1 = δ x 1 2 1 2 - 1 3 1 3 = δ 6 x

Para δ = 5   m m e x = 0,5   m :

v U M á x = 1 6 0,005 m ∙ 1 0,5 m = 0,00167

Resposta

v U = δ x 1 2 y δ 2 - 1 3 y δ 3

E

0,00167