Ar, a 68   ° F e pressão absoluta de 1   a t m , é comprimido adiabaticamente, sem atrito, até uma pressão absoluta de 3   a t m . Determine a variação de energia interna.

Passo 1

Vamos lá encontrar a variação de energia interna ∆ U . Para isso, vamos usar a primeira Lei da termodinâmica:

δ Q - δ W = d E

Como o processo é adiabático, δ Q = 0 , o sistema é estacionário ( d E = d U ) e sem atrito, então:

d U = - δ W = - m p d V

Antes de integrar, precisamos relacionar p e V . Um processo adiabático sem atrito (reversível) é isentrópico, o que para um gás ideal dá:

p V k = C

Onde k = C p C v , então:

V = C p 1 / k = C 1 k ∙ p - 1 k

E

d V = C 1 k ∙ 1 k p - 1 k - 1 d p

Então, substituindo:

d U = d U m = - p d V = - p C 1 k ∙ 1 k p - 1 k - 1 d p

  d U = - C 1 k k p - 1 k d p

Integrando,

∆ U = C 1 k k - 1 p 2 k - 1 k - p 1 k - 1 k  

∆ U = C 1 k   p k - 1 k k - 1 p 2 p 1 k - 1 k - 1

Passo 2

Podemos relacionar esse resultado com a Lei dos Gases Ideais a esse processo adiabático. Temos,

C 1 k ∙ p k - 1 k = C 1 k ∙ p - 1 k ∙ p

Lembra que no passo 1 nós encontramos V = C 1 k ∙ p - 1 k ? Então:

C 1 k ∙ p - 1 k ∙ p = p ∙ V = R a r T

Juntando tudo,

∆ U = R a r T k - 1 p 2 p 1 k - 1 k - 1

Passo 3

Agora é só substituir os valores dados no enunciado:

P 1 = 1   a t m = 101,3   P a

P 2 = 3   a t m = 304,0   P a

T = 68   ° F = 293 K

E as constantes para o ar, que são tabeladas:

R a r = 287   J / k g ∙ K

k = 1,4

Portanto,

∆ U = 1 0,4 × 287 J k g ∙ K × 293   K 304,0 P a 101,3 P a 04 1,4 - 1

∆ U = 77,5   k J / k g

Resposta

77,5   k J / k g