Enunciado

Ar escoa para fora de uma câmara de teste de uma sala limpa através de um duto de 150 mm de diâmetro e de comprimento L. O duto original tinha uma entrada de borda-viva, mas essa foi substituída por outra de entrada bem arredondada. A pressão na câmara é 2,5 mm de água acima da ambiente. As perdas por atrito são desprezíveis comparadas com as perdas de entrada e de saída. Estime o aumento na vazão volumétrica que resulta da mudança no contorno da entrada.

Passo 1

Neste problema será calculada a vazão de um escoamento considerando duas situações de entrada do duto. Para isso será avaliada a velocidade do escoamento como função do coeficiente de perda de carga.

A Equação da Energia será utilizada na forma:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l T

Sendo a perda de carga total definida como:

h l T = f L D V 2 2   2   + K V 2 2 2

Como hipótese e dados do enunciado tem-se que;

- regime permanente ( ∂ / ∂ t = 0 );

- escoamento horizontal ( z 1 = z 2 );

- escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2   e ρ a r = 1,23   k g / m 3 );

- α ≈ 1,0 ;

- D = 150   m m ;

- V 1 ≈ 0 (ar na câmara praticamente parado);

- p 2 - p 1 = ρ á g u a g ∆ h (foi dado aumento de pressão em termos de altura de água, por isso o uso a expressão de pressão estática);

- ρ á g u a = 1000   k g / m 3 ;

- ∆ h = 2,5   m m ;

- perdas por atrito são desprezíveis comparadas com as perdas de entrada e de saída:

h l T = f L D V 2 2   2 ⏞ ≈ 0   + K V 2 2 2

h l T =   K V 2 2 2

Passo 2

Usando a Equação de Energia, em J/kg, entre as seções 1 e 2:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l T

p 1 ρ - p 2 ρ = α V 2 2 2 - α V 1 2 2 + g ( z 2 - z 1 ) + h l T

p 1 - p 2 ρ = α V 2 2 - V 1 2 2 + g z 2 - z 1 + h l T

Sabendo a expressão de h l T , que z 2 ≅ z 1 , V 1 ≈ 0 e α ≈ 1 :

p 1 - p 2 ρ = V 2 2 2 + K V 2 2 2

2 ∆ p ρ = V 2 2 1 + K

Logo a expressão da velocidade é dada por:

V 2 2 = 2 ∆ p ρ 1 + K

Mas ∆ p pode ser escrito em função da pressão estática, então:

V 2 2 = 2 ρ á g u a g ∆ h ρ 1 + K

V 2 = 2 ρ á g u a g ∆ h ρ 1 + K

Passo 3

Obtendo o coeficiente de perda de carga para diferentes configurações da entrada do tubo segundo Tabela 8.2:

- Borda-viva

K = 0,5

- Borda bem arredondada (quanto mais arredonda menor o coeficiente K )

K = 0,04

Passo 4

Logo as velocidades para as duas situações são:

- Borda-viva

V 2 = 2 ρ á g u a g ∆ h ρ 1 + K

V 2 = 2 × 1000 × 9,81 × ( 2,5 × 10 - 3 ) 1,23 1 + 0,5

V 2 = 5,16   m / s

- Borda bem arredondada:

V 2 = 2 ρ á g u a g ∆ h ρ 1 + K

V 2 = 2 × 1000 × 9,81 × ( 2,5 × 10 - 3 ) 1,23 1 + 0,04

V 2 = 6,19   m / s

Passo 5

A vazão será dada por:

Q = V 2 A 2

Q = V 2 π D 2 2 4

Considerando as duas situações de avaliação:

- Borda-viva

Q B V = 5,16 × π × 150 × 10 - 3 2 4

Q B V = 0,091   m 3 / s

- Borda bem arredondada (quanto mais arredonda menor o coeficiente K )

Q B A = 6,19 × π × 150 × 10 - 3 2 4

Q B A = 0,109   m 3 / s

Passo 6

A diferença de vazão será definida como:

∆ Q = Q B A - Q B V

∆ Q = 0,109 - 0,091

∆ Q = 0,018   m 3 / s

Já o aumento da vazão com a mudança da entrada do tubo pode ser escrita como:

%   A u m e n t o = ∆ Q Q B V × 100

%   A u m e n t o = 0,018 0,091

%   A u m e n t o ≅ 20   %

Resposta

%   A u m e n t o ≅ 20   %

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