A área sombreada mostrada está num escoamento onde o campo de velocidade é dado por V → = - a x i ^ - b y j ^ + c k ^ , a = b = 2 s - 1 e c = 2,5   m / s . Escreva uma expressão vetorial para o elemento da área sombreada. Avalie as integrais ∫ V → ∙ d A → e ∫ V → ( V → ∙ d A → ) sobre a área sombreada.

Passo 1

Vamos lá! Nessa questão temos um campo de velocidade e a geometria do volume de controle. Precisamos encontrar a taxa de fluxo de volume ∫ V → ∙ d A → e fluxo de momento ∫ V → ( V → ∙ d A → ) . O nosso ponto inicial, então, é definir os vetores de área e velocidade.

d A → = d y d z i ^ - d x d z j ^

V → = - a x i ^ - b y j ^ + c k ^ ou V → = - 2 x i ^ + 2 y j ^ + 2,5 k ^

Pelas equações da superfície: y = 3 2 x ou x = 2 3 y . Então,

∫ V → ∙ d A → = Q ˙ = ∫ - a x i ^ - b y j ^ + c k ^ ∙ ( d y d z i ^ - d x d z j ^ )

Q ˙ = ∫ 0 2 ∫ 0 3 - a x d y d z - ∫ 0 2 ∫ 0 2 b y d x d z

Q ˙ = - a ∫ 0 2 d z ∫ 0 3 2 3 y d y - b ∫ 0 2 d z ∫ 0 2 3 2 x d x

Q ˙ = - 2 a 1 3 y 2 0 3 - 2 b 3 4 x 2 0 2  

Assim,

Q ˙ = - 6 a - 6 b = - 24   m 3 / s

Passo 2

Para o fluxo de momento, temos:

∫ V → ( V → ∙ d A → ) = ∫ ( - a x i ^ - b y j ^ + c k ^ ) ( - a x i ^ - b y j ^ + c k ^ ) ( d y d z i ^ - d x d z j ^ )

Assim,

∫ - a x i ^ - b y j ^ + c k ^ - a x d y d z - b y d x d z

Da superfície, nós temos que y = 3 2 x ou x = 2 3 y . Além disso, d y = 3 2 d x e a = b . Então,

∫ - a x i ^ + 3 2 a x j ^ + c k ^ - a x 3 2 d x d z - a 3 2 x d x d z

∫ - a x i ^ + 3 2 a x j ^ + c k ^ - 3 a x d x d z

= 3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 a 2 x 2 d x d z i ^ - 9 2 ∫ 0 2 ∫ 0 2 a 2 x 2 d x d z j ^ - 3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 a c x d x d z k ^

Resolvendo a integral,

6 a 2 x 3 3 0 2 i ^ - 9 a 2 x 3 3 0 2 j ^ - 6 a c x 2 2 0 2

= 16 a 2 i ^ - 24 a 2 j ^ - 12 a c k ^

Substituindo a , b e c , a expressão vetorial é dada por:

64 i ^ - 96 j ^ - 6 0 k ^   m 4 / s 2

Resposta

64 i ^ - 96 j ^ - 60 k ^   m 4 / s 2