Um bloco com dimensões de 50 cm \* 30 cm \* 20 cm pesando 150 \* N deve ser deslocado com a velocidade constante de 0,8 m/s num plano inclinado com o coeficiente de atrito 0,27 . (a) Determine a força F que precisa ser aplicada na direção horizontal. (b) Se uma película de óleo de 0,4 mm de espessura com viscosidade dinâmica de 0,012 \* Pa \* s for aplicada entre o bloco e o plano inclinado, determine o porcentual de redução na força requerido.

Passo 1

Falaaaaa galerinhaaa bonita!

Aqui nessa questão, a gente tem um caso clássico de bloco no plano inclinado. O enunciado diz que a velocidade é constante, então isso significa que a aceleração é zero e o sistema está em equilíbrio.

∑ F = 0

E quem vai fazer esse equilíbrio acontecer é uma força F horizontal aplicada sobre o bloco. E o que a gente quer é justamente encontrar essa força.

Mas a gente tem duas situações diferentes pra avaliar.

  • No primeiro caso, temos atrito entre o bloco e o plano.
  • No segundo caso, temos uma película de óleo com viscosidade dinâmica e espessura conhecidas.

E agora? Como resolver?

O primeiro caso é mais básico né minha gente. Temos nossas forcinhas de sempre atuando (peso, normal, atrito e a força horizontal). E como o sistema ta em equilíbrio, podemos fazer o somatório de forças igual a zero nas duas direções e assim achar F .

No segundo caso, você vai precisa relembrar de alguns conceitos de tensão de cisalhamento!!! Tá lembrado? Bora lá!

A película de óleo vai causar uma tensão de cisalhamento entre o plano e bloco, que também vai atuar como uma resistência ao movimento. Ou seja, a força de cisalhamento, resultante dessa tensão, também vai se opor ao movimento relativo entre as superfícies, então ela vai ter a mesma direção e sentido da força de atrito.

A força de cisalhamento é o produto da tensão de cisalhamento pela área de contato entre o fluido e bloco:

F c i s a l h a m e n t o = τ w A s

E a tensão de cisalhamento vai depender da viscosidade dinâmica μ , a velocidade do bloco v e a espessura da camada de fluido h , a partir da seguinte fórmula:

τ w = μ v h

Então no fim das contas os dois casos vão ser muito parecidos em termos de contas. O que muda é que a força de cisalhamento vai entrar “no lugar” da força de atrito e, logicamente, como calcula cada uma delas.

Bora fazer conta!

Passo 2

O primeiro caso, é o que temos atrito entre o bloco e a superfície, então o DCL fica assim:

Como temos equilíbrio, então o somatório de forças é zero nas duas dimensões.

∑ F x = 0 :

F 1 - F a t cos ⁡ 20 ° - N sin ⁡ 20 ° = 0

∑ F y = 0 :

N cos ⁡ 20 ° - F a t sin ⁡ 20 ° - P = 0

Sendo que:

F a t = f N

Substituindo os valores nas duas equações:

F 1 - 0,27 N cos ⁡ 20 ° - N sin ⁡ 20 ° = 0

N cos ⁡ 20 ° - 0,27 N sin ⁡ 20 ° - 150 = 0      

Da segunda equação, conseguimos a força normal:

N = 150 cos ⁡ 20 ° - 0,27 sin ⁡ 20 °

N = 177 N

E substituindo na primeira obtemos o valor da força que deixa todo esse sistema em equilíbrio:

F 1 = 0,27 N cos ⁡ 20 ° + N sin ⁡ 20 °

F 1 = 105,5   N

Terminamos o primeiro caso. Agora vamos avaliar o que acontece quando entra aquela película de óleo.

Passo 3

No segundo caso, a força de atrito é substituída pela força de cisalhamento, que, como vimos no passo 1, é dada por:

F c i s a l h a m e n t o = τ w A s

τ w = μ v h

Em que:

  • h = 0,4   m m   é a espessura do fluido
  • μ = 0,012   P a ∙ s é a viscosidade dinâmica
  • v = 0,8   m / s é a velocidade do bloco

Já a superfície de contato tem dimensões 50   c m por 20   c m , então sua área é:

A s = 0,5 × 0,2   m 2 = 0,1   m 2

Substituindo os valores, achamos a tensão de cisalhamento:

τ w = 0,012   P a ∙ s 0,8 m s 4 × 10 - 4   m = 24   P a

E a força de cisalhamento:

F c i s a l h a m e n t o = 24   P a 0,1   m 2 = 2,4   N

Passo 4

Agora vamos analisar o sistema de novo. Como vimos no passo 1, a força de cisalhamento atua muito parecido com a força de atrito, pelo menos em termos de direção e sentido. Então o DCL fica assim:

Mais uma vez, podemos fazer os somatórios de forças iguais a zero.

∑ F x = 0 :

F 2 - F c i s a l h a m e n t o cos ⁡ 20 ° - N sin ⁡ 20 ° = 0

∑ F y = 0 :

N cos ⁡ 20 ° - F c i s a l h a m e n t o sin ⁡ 20 ° - P = 0

Substituindo os valores nas duas equações:

F 2 - 2,4 cos ⁡ 20 ° - N sin ⁡ 20 ° = 0

N cos ⁡ 20 ° - 2,4 sin ⁡ 20 ° - 150 = 0      

Da segunda equação, conseguimos a força normal:

N = 150 + 2,4 sin ⁡ 20 ° cos ⁡ 20 °

N = 160,5   N

E substituindo na primeira obtemos o valor da força que deixa todo esse sistema em equilíbrio:

F 2 = 2,4 cos ⁡ 20 ° + N sin ⁡ 20 °

F 2 = 57,2   N

Passo 5

Por fim, temos que a redução percentual da força requerida será:

F % = F 1 - F 2 F 1 × 100 % = 105,5 - 57,2 105,5 × 100 % = 45,8 %

Entendeu tudo? Respira fundo e bora continuar!

Resposta

Portanto temos que,

( a ) A força F que precisa ser aplicada na direção horizontal é:

F 1 = 105,5   N

( b ) O porcentual de redução na força requerida é:

F % = 45,8 %

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