Enunciado

Uma caixa de gelo cujas dimensões externas são 30 cm x 40 cm x 40 cm é feita de isopor ( k = 0,033 W/m.K) de 3 cm de espessura. Inicialmente, a caixa é preenchida com 35 kg de gelo a 0°C, e a temperatura da superfície interna da caixa de gelo pode ser considerada de 0°C o tempo todo. O calor de fusão da água a 0°C é 333,7 kJ/kg, e o ar ambiente ao redor está a 20°C. Ignorando qualquer transferência de calor a partir da base da caixa de gelo de 40 cm x 40 cm, determine quanto tempo demora para que o gelo na caixa derreta completamente, considerando que a caixa de gelo está sujeita (a) ar calmo e (b) ventos de 50 km/h. Considere o coeficiente de transferência de calor na parte da frente, de trás e na superfície superior como sendo o mesmo que nas superfícies laterais.

Passo 1

Vamos reunir nossas informações: temos 35 kg de gelo que serão derretidos. O calor de fusão é ∆ h f u s ã o = 333,7 kJ/kg. Temos também as dimensões da caixa 30 cm x 40 cm x 40 cm, sua espessura L = 3 cm e a condutividade do isopor k = 0,033 W/m.K. Sabemos, por fim, que a temperatura interna da caixa é T 1 = 0°C e a temperatura do ar é T ∞ = 20°C. Ou, de uma forma mais visual:

Então, basicamente o que temos são dois mecanismos de transmissão de calor envolvidos: condução e convecção (natural e/ou forçada). Vamos então: determinar a energia para derreter todo o gelo; calcular o coeficiente global para cada caso; encontrar a taxa de transferência de calor e, enfim calcular o tempo para que seja transferida a energia necessária para derreter todo o gelo. Pronto? Vamos nessa!!!

Então, como combinado nosso primeiro passo é calcular a energia para que todo o gelo se transforme em água líquida.

q ˙ f u s ã o = m   x   ∆ h f u s ã o t  

q ˙ f u s ã o = 35 x 333 . 7 00 t

q ˙ f u s ã o = 11.679 . 5 00 t

Vamos deixar assim por enquanto e depois voltaremos para encontrar o tempo.

Passo 2

Vamos considerar que as paredes do cilindro são placas planas de comprimento característico L c = 30 cm. Para uma placa plana, com uma resistência condutiva e uma convectiva, o coeficiente global fica:

U = 1 L k + 1 h

Sendo que h é coeficiente convectivo de cada situação. Na letra (a) o ar é um vento calmo, então a convecção é natural. Antes de começar vamos assumir que o ar próximo à superfície tem temperatura do ambiente, ou seja, 20°C. As propriedas do ar nesta temperatura são:

ϑ = 1,516 x 10 - 5   m 2 / s

P r = 0,7309

k = 0,02514   W / m . K

A correlação de Nusselt para uma placa plana vertical é:

N u = h L c k = 0,825 + 0,387 R a 1 6 1 + 0,492 P r 9 16 8 27 2

Precisamos dos adimensionais R a e P r . Já temos o número de Prandtl da tabela de propriedades do ar. Vamos para o número de Rayleigh:

R a = g β T s - T ∞ L c 3 ϑ 2 P r  

Precisamos estimar uma temperatura para a superfície. Neste caso, como o isopor é um bom isolante, esperamos que a temperatura externa da placa seja mais próxima da do ar. Por isso, vamos considerar T s = 15 ° C .

R a = 9,81 x 1 293 x 20 - 15 x 0,3 3 1,516 x 10 - 5 2 x 0,7309

R a = 1,4 x 10 7

Já temos todas as variáveis necessárias para o número de Nusselt. Então vamos calcular h :

h L c k = 0,825 + 0,387 R a 1 6 1 + 0,492 P r 9 16 8 27 2

h = k L c 0,825 + 0,387 R a 1 6 1 + 0,492 P r 9 16 8 27 2

h = 0,02514 0,3 x 0,825 + 0,387 x 1,4 x 10 7 1 6 1 + 0,492 0,7309 9 16 8 27 2

h = 2,91   W / m 2 . K

O coeficiente global fica:

U = 1 L k + 1 h

U = 1 0,03 0,033 + 1 2,91

U = 0,8   W / m 2 . K  

Vamos agora determinar a taxa de transferência de calor:

q ˙ = U A ∆ T

q ˙ = 0,8 x 4 x 0,4 x 0,3 + 0,4 x 0,4 x ( 20 - 0 )

q ˙ = 10,22   W

Antes de encontrar o tempo para derreter o gelo vamos verificar se a consideração de T s = 15 ° C foi adequada. Caso encontemos uma temperatura muito diferente devemos estimar outro T s e recalcular tudo a partir do número de Rayleigh.

Para o mecanismo de convecção:

q ˙ = h A ( T ∞ - T s )

10,22 = 2,91 x 4 x 0,4 x 0,3 + 0,4 x 0,4 x ( 20 - T s )

T s = 14,5 ° C

Que é próximo ao que estimamos. Vamos então para o cálculo do tempo:

q ˙ f u s ã o = 11.679.500 t

10,22 = 11.679.500 t

t = 11.679.500 10,22

t = 1,1 x 10 6   s = 13,2   d i a s  

Passo 3

Para o item (b) vamos prosseguir de maneira semelhante, mas agora o mecanismo de convecção é forçada. A velocidade do ar é V = 50 km/h (que devemos transformar para m/s nos cáculos)Na convecção forçada sabemos que N u = N u ( R e , P r ) . Já temos o número de Prandtl do item anterior, então vamos calcular o número de Reynolds:

R e = V x L c ϑ

R e = 50 3,6 x 0,3 1,516 x 10 - 5

R e = 2,75 x 10 5

Para um escoamento sobre placa plana com R e < 5 x 10 5 :

N u = h L c k = 0,664 R e 0 , 5 P r 1 / 3    

h = k L c 0,664 R e 0,5 P r 1 / 3

h = 0,02514 0,3 x 0,664 x ( 2,75 x 10 5 ) 0 , 5 x ( 0,7309 ) 1 / 3

h = 26,3   W / m 2 . K

O coeficiente global fica:

U = 1 L k + 1 h

U = 1 0,03 0,033 + 1 26,3

U = 1,05   W / m 2 . K  

Vamos agora determinar a taxa de transferência de calor:

q ˙ = U A ∆ T

q ˙ = 1,05 x 4 x 0,4 x 0,3 + 0,4 x 0,4 x ( 20 - 0 )

q ˙ = 13,5   W

Por fim, vamos determinar o tempo para derreter todo o gelo:

q ˙ f u s ã o = 11.679.500 t

13,5 = 11.679.500 t

t = 11.679.500 13,5

t = 8,6 x 10 5   s = 1 0   d i a s  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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