O campo de velocidade para um dipolo plano é dado na Tabela 6.2. Determine uma expressão para o gradiente de pressão em qualquer ponto r ,   θ .

Passo 1

Ficou com dúvida nessa questão? Vem que eu te ajudo!

Foi nos dado o campo de velocidade para um dipolo plano:

V r r ,   θ = - ∧ r 2 cos ⁡ θ V θ r ,   θ = - ∧ r 2 s e n θ V z = 0

E a questão pede para nós encontrarmos a expressão para o gradiente de pressão ∂ P / ∂ r   e ∂ P / ∂ θ . Para isso, vamos usar as equações de Euler em coordenadas cilíndricas:

ρ a r = ρ ∂ V r ∂ t + V r ∂ V r ∂ r + V θ r ∂ V r ∂ θ + V z ∂ V r ∂ z - V θ 2 r = ρ g r - ∂ P ∂ r

ρ a θ = ρ ∂ V θ ∂ t + V r ∂ V θ ∂ r + V θ r ∂ V θ ∂ θ + V z ∂ V θ ∂ z + V r V θ r = ρ g θ - 1 r ∂ P ∂ θ

Assim, considerando as equações do campo de velocidade que a questão nos deu, a equação de Euler para r pode ser simplificada na forma:

ρ g r - ∂ P ∂ r = ρ V r ∂ V r ∂ r + V θ r ∂ V r ∂ θ - V θ 2 r

Substituindo o V r r ,   θ = - ∧ r 2 cos ⁡ θ e V θ r ,   θ = - ∧ r 2 s e n θ na equação, e ignorando a gravidade, temos:

    ∂ P ∂ r = - ρ - ∧ r 2 cos ⁡ θ ∂ ∂ r - ∧ r 2 cos ⁡ θ + - ∧ r 2 s e n θ r ∂ ∂ θ - ∧ r 2 cos ⁡ θ -   - ∧ r 2 s e n θ 2 r

Pronto, agora é só calcular essas derivadas parciais em cada termo:

∂ P ∂ r = - ρ - ∧ r 2 cos ⁡ θ 2 ∧ r 3 cos ⁡ θ + - ∧ r 2 s e n θ r ∧ r 2 s e n ( θ ) -   - ∧ r 2 s e n θ 2 r

Fazendo as multiplicações:

∂ P ∂ r = - ρ - 2 ∧ 2 r 5 cos 2 ⁡ θ - ∧ 2 r 5 s e n 2 ( θ ) -   ∧ 2 r 5 s e n 2 ( θ )

∂ P ∂ r = ρ 2 ∧ 2 cos 2 ⁡ θ + 2 ∧ 2 s e n ( θ ) r 5   = ρ 2 ∧ 2 ( cos 2 ⁡ θ + s e n ( θ ) ) r 5  

Usando a identidade trigonométrica ( cos 2 ⁡ θ + s e n ( θ ) ) = 1 , temos:

∂ P ∂ r = 2 ∧ 2 ρ r 5

Encontramos o gradiente de pressão em r , agora vamos fazer o mesmo para θ .

Passo 2

Simplificando a Equação de Euler:

ρ g θ - 1 r ∂ P ∂ θ = ρ V r ∂ V θ ∂ r + V θ r ∂ V θ ∂ θ + V r V θ r

Substituindo as equações para o dipolo plano (que a questão nos deu):

∂ P ∂ θ = - r ρ - ∧ r 2 cos ⁡ θ ∂ ∂ r - ∧ r 2 s e n θ + - ∧ r 2 s e n θ r   ∂ ∂ θ - ∧ r 2 s e n θ + - ∧ r 2 cos ⁡ θ - ∧ r 2 s e n θ r

Calculando as derivadas parciais:

∂ P ∂ θ = - r ρ - ∧ r 2 cos ⁡ θ 2 ∧ r 3 s e n θ - ∧ r 3 s e n θ - ∧ r 2 c o s θ + ∧ 2 cos ⁡ θ s e n θ r 5

Fazendo as operações:

∂ P ∂ θ = - r ρ - 2 ∧ 2 cos ⁡ θ s e n θ r 5 + ∧ 2 cos ⁡ θ s e n θ r 5 + ∧ 2 cos ⁡ θ s e n θ r 5

∂ P ∂ θ = - r ρ - 2 ∧ 2 cos ⁡ θ s e n θ r 5 + 2 ∧ 2 cos ⁡ θ s e n θ r 5

∂ P ∂ θ = 0

O que significa que o gradiente de pressão é puramente radial.

Resposta

∂ P ∂ r = 2 ∧ 2 ρ r 5

∂ P ∂ θ = 0