Enunciado

O campo de velocidade para um dipolo plano é dado na Tabela 6.2. Se ∧ = 3   m 3 . s - 1 , a massa específica do fluido é ρ = 1,5   k g / m 3 e a pressão no infinito é 100 kPa, trace um gráfico da pressão ao longo do eixo x , de x = - 2,0   m a x = - 0,5   m , e de x = 0,5   m a x = 2,0   m .

Passo 1

Tá legal, o campo de velocidades dado está em coordenadas polares, e nós temos que analisar a pressão ao longo do eixo x , nesse caso, sabemos que os pontos ao longo de x possuem coordenadas r = x e θ = 0 , dessa forma, as equaçãoes para a velocidade se tornam:

V r = - ∧ r 2 cos ⁡ θ = - ∧ x 2 1 → V r = - ∧ x 2

V θ = - ∧ r 2 sen ⁡ θ = - ∧ x 2 0 → V θ = 0

Dessa forma, o módulo da velocidade será:

V 2 = V r 2 + V θ 2 → V = V r 2 + V θ 2 = - ∧ x 2 2 + 0 2 → V = - ∧ x 2

Agora, para um ponto no infinito ( ∞ , 0 ) , as velocidades se tornam:

V r = - ∧ r 2 cos ⁡ θ = - ∧ ∞ 2 1 → V r = 0

V θ = - ∧ r 2 sen ⁡ θ = - ∧ ∞ 2 0 → V θ = 0

E, então, para esse ponto o módulo da velocidade é:

V = V r 2 + V θ 2 = 0 2 + 0 2 → V = 0

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli entre o ponto 1 com coordenadas ( x , 0 ) e o ponto 2 que escolheremos como ficando no infinito, mas ainda sobre o eixo x (pois sabemos que nesse ponto temos pressão atmosférica):

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Como o enunciado não mencionou nada a respeito, podemos desconsiderar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 . Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

p 1 ρ + - ∧ x 2 2 2 = p a t m ρ + 0 2 2 → p 1 = p a t m - ρ ∧ 2 2 x 4

Passo 3

O gráfico que representa a pressão de x = - 2   m até x = - 0,5   m é:

O gráfico que representa a pressão de x = 0,5   m até x = 2   m é:

Resposta

p 1 = p a t m - ρ ∧ 2 2 x 4

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