Enunciado

Um campo de velocidade permanente bidimensional é dado por u = x 2 – y 2 ,   ν = – 2 x y . Deduza o campo de linhas de corrente e esboce algumas linhas de corrente no semiplano superior.

Dica: a equação diferencial é exata.

Passo 1

Bem, vamos lembrar que a equação apresentada é uma equação diferencial de segunda ordem, então podemos organizar ela para ela tomar essa cara!

d x u = d y v

d x x 2 – y 2 = d y – 2 x y

Rearranjando os termos, temos:

– 2 x y d x = x 2 – y 2 d y

Passo 2

Agora antes de integrar essa equação diferencial temos que verificar o critério das derivadas, assim:

δ 2 x y δ y = δ x 2 - y 2 δ x = 2 x = δ 2 F δ x δ y

Como visto nossa equação diferencial é exata, logo podemos integrar qualquer uma das equações dadas:

F = ∫ x 2 – y 2 d y

F = x 2 y - y 3 3

Para esboço do gráfico recomendo o uso do webapp do geogebra, para plot de gráficos em 3d

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Passo 3

Resposta

F = x 2 y - y 3 3

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