Enunciado

Um canal circular de aço pintado, de raio de 50 cm, tem uma vazão à meia carga de 1,2 m3/s com uma declividade de 5 m/km. Determine (a) se a declividade é fraca ou forte e (b) que tipo de solução gradualmente variada se aplica a esse ponto. (c) Use o método aproximado da Equação (10.52) e um único incremento de profundidade Dy = 5 cm, para calcular o Dx estimado para esse novo y.

Passo 1

Tudo bem, galera? Vem comigo que eu vou te ajudar a resolver esse problema!

Primeiro, pra resolver as letras (a) e (b), devemos usar as expressões da Equação 10.20 (página 715):

A = R 2 θ - sen ⁡ 2 θ   2

P = 2 R θ

R h = R 2 1 - sen ⁡ 2 θ   2 θ

y = R 1 + sen ⁡ 90 ° - θ

Pro escoamento uniforme, usamos a Equação 10.19 (página 714) com n = 0,014 , com R = 0,5   m , Q = 1,2   m 3 / s e S 0 = 5 m k m = 0,005 .

Q = 1 n A R h 2 / 3 S 0

1,2   m 3 / s   = 1 0,014 0,5   m 2 θ - sen ⁡ 2 θ   2 0,5   m 2 1 - sen ⁡ 2 θ   2 θ 2 / 3 0,005

Resolvendo pra θ n e pra profundidade normal y n , teremos:

θ n = 107,9 °

y n = 0,654   m

Além disso, podemos calcular o ângulo crítico θ c e a profundidade crítica y c a partir das equações:

A c = b 0 Q 2 g 1 / 3

b 0 = 2 R cos ⁡ 90 ° - θ  

Resolvendo, obtemos:

θ c = 104,8 °

y c = 0,628   m

Dessa forma, y c < y n e, portanto, a declividade é fraca.

Além disso, como y = 0,5   m < y c o número de Froude é F r > 1 e pela Figura 10.14c (página 732), teremos uma curva de solução do tipo M-3.

Passo 2

Agora, vamos resolver a letra (c) e achar a distância ∆ x necessária pra aumentar de y 1 = 0,5   m a y 2 = 0,55   m com um passo só ( ∆ y = 0,05   m ) usando o método numérico da Equação 10.52 (página 735):

∆ x = E 2 - E 1 S 0 - S m é d

Vamo fazer uma tabelinha pra calcular os termos necessários pra calcular ∆ x :

Logo, S m é d = 0,0116 + 0,00847 2 = 0,010035 .

Dessa forma, podemos calcular ∆ x :

∆ x = E 2 - E 1 S 0 - S m é d = 0,925 - 0,976 0,005 - 0,010035

∆ x = 10,13   m

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) y c < y n e, portanto, a declividade é fraca

(b) Como y = 0,5   m < y c , teremos uma curva de solução do tipo M-3

(c) ∆ x = 10,13   m

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