Em certo dia, a pressão barométrica ao nível do mar é 30,1 in de Hg e a temperatura é 70oF. Um medidor de pressão em um avião em voo indica uma pressão de 10,6 psia e um medidor de temperatura mostra a temperatura do ar como 46oF. Estime, o mais exatamente possível, a altitude do avião acima do nível do mar.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escrevendo a relação para o gradiente de pressão:

d P d y = - ρ g

Aqui, P é a pressão, ρ é a densidade do fluido, e g é a aceleração da gravidade.

Escrevendo a equação do gás perfeito isotérmico

P = ρ R T M

→ ρ = - P g R T

Aqui, M é o peso molecular do gás, R é a constante universal dos gases, e T é a temperatura.

Passo 2

Substituindo P M R T para ρ na equação obtida no começo do Passo 1:

d P d y = - ρ g

→ d P d y = - P M g R T

→ d P P = - M g R T d y

Integrando a equação de ambos os lados

∫ P = P a t m P = P d P P = - ∫ y = 0 y = y M g R T d y

→ ln ⁡ P P a t m P = - M g R T y 0 y

→ ln ⁡ P - ln ⁡ P a t m = - M g R T y - 0

→ ln ⁡ P P a t m = - M g y R T

Aqui, P é a pressão em uma altitude de y , e P a t m é a pressão atmosférica.

Passo 3

Calculando a temperatura média:

T = T 1 + T 2 2

Aqui, T 1 e T 2 são as temperaturas correspondentes ao nível do mar e a temperatura manométrica, respectivamente.

Substituindo os valores temos:

T = 70 + 46 2 = 116 2

∴ T = 58 ° F

Convertendo as unidades da temperatura de Fahrenheit para Kelvin

T K = T + 459,67 1,8

Substituindo T = 58 ° F

T K = 58 ° F + 459,67 1,8

∴ T K = 287,59   K

Passo 4

Substituindo os dados na equação obtida no Passo 2:

ln ⁡ P P a t m = - M g y R T

→ ln ⁡ 10,6   p s i a ⋅ 1   i n ⋅ Hg 0,4911   p s i a 30,1   i n ⋅ Hg = - 28,97 ⋅ 9,81 ⋅ y 8314,3 ⋅ 287,59

→ ln ⁡ 0,717 = - 1,188 ⋅ 10 - 4   y

Resolvendo para y :

y = 2800   m

→ y = 2800   m ⋅ 3,28084   f t 1   m

∴ y = 9186,35   f t

Resposta

y = 9186,35   f t