Um “chip” retangular de microcircuito flutua sobre uma fina camada de ar, com espessura , acima de uma superfície porosa. A largura do “chip” é , conforme mostrado. O seu comprimento, , é muito grande na direção perpendicular ao plano da figura. Não há escoamento na direção . Considere que o escoamento na direção , na fresta sob o chip, é uniforme. O escoamento é incompressível, e os efeitos de atrito podem ser desprezados. Use um volume de controle adequadamente escolhido para mostrar que na fresta. Encontre uma expressão geral para aceleração de uma partícula fluida na fresta. Avalie a aceleração máxima. Obtenha uma expressão para o gradiente de pressão, , e esboce a distribuição de pressão sob o chip. Mostre no seu esboço. A força resultante de pressão sobre o chip é orientada para cima ou para baixo? Explique. Para as condições mostradas, com , estime a massa por unidade de comprimento do chip.
Passo 1
Vamos lá! A questão nos deu um chip retangular com largura , flutuando numa camada de ar com uma espessura de , e pediu para:
- Mostrar que na fresta, usando um volume de controle adequado
- Encontrar uma expressão geral para aceleração da partícula fluida na fresta
- Avaliar a aceleração máxima
- Obter uma expressão para o gradiente de pressão e esboçar a distribuição
- Orientar a força resultante da pressão no esboço
- Estimar a massa por unidade de comprimento, usando
Parece muita coisa, mas calma! Vamos resolver rapidinho.
Primeiro vamos assumir que nosso fluido é estacionário, incompressível, sem atrito e uniforme na superfície porosa da fresta e que não há escoamento na direção (como diz a questão). Então vamos aplicar a equação da continuidade para esse volume de controle:
Como , temos:
Cortando e dos dois lados e rearranjando:
Passo 2
Encontrando agora uma expressão geral para a aceleração da partícula fluida na fresta, vamos utilizar a equação de Euler na forma:
Como o escoamento é bidimensional e estacionário, e , temos:
Usando a equação da continuidade, para esse escoamento nós temos:
Substituindo o valor de que a questão nos dá:
Para encontrar essa componente do campo de velocidade, vamos integrar a expressão:
Como , podemos escrever:
Então, voltamos a equação da aceleração em e , substituindo as expressões encontradas:
A expressão geral para a aceleração será então:
Passo 3
Podemos avaliar a aceleração máxima, calculando a magnitude do vetor aceleração (o módulo do vetor):
A velocidade máxima será dada quando for o maior valor, nesse caso isso acontece quando e .
Substituindo os valores , e , temos:
Passo 4
Vamos agora obter uma expressão para o gradiente de pressão , escrevendo a componente da equação de Euler:
Substituindo e sendo :
Para obter a expressão da distribuição de pressão nós precisamos separar as variáveis e integrar e notar que em . Então,
Passo 5
Esboçando a distribuição de pressão,

Note que a pressão no chip é maior que sobre toda a superfície do chip. Então a força de pressão líquida no chip é para cima.
Passo 6
Para estimar a massa por unidade de comprimento do chip, nós devemos determinar a força de pressão líquida no chip.
O peso do chip, , deve ser balanceado pela força líquida de pressão. Assim,
Substituindo os valores, usando , , , e , temos: