Um “chip” retangular de microcircuito flutua sobre uma fina camada de ar, com espessura h = 0,5   m m , acima de uma superfície porosa. A largura do “chip” é b = 20   m m , conforme mostrado. O seu comprimento, L , é muito grande na direção perpendicular ao plano da figura. Não há escoamento na direção z . Considere que o escoamento na direção x , na fresta sob o chip, é uniforme. O escoamento é incompressível, e os efeitos de atrito podem ser desprezados. Use um volume de controle adequadamente escolhido para mostrar que U x = q x / h na fresta. Encontre uma expressão geral para aceleração de uma partícula fluida na fresta. Avalie a aceleração máxima. Obtenha uma expressão para o gradiente de pressão, ∂ p / ∂ x , e esboce a distribuição de pressão sob o chip. Mostre P a t m no seu esboço. A força resultante de pressão sobre o chip é orientada para cima ou para baixo? Explique. Para as condições mostradas, com q = 0,06   m 3 / s / m 2 , estime a massa por unidade de comprimento do chip.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos deu um chip retangular com largura b = 20   m m , flutuando numa camada de ar com uma espessura de h = 0,5   m m , e pediu para:

  1. Mostrar que U x = q x / h na fresta, usando um volume de controle adequado
  2. Encontrar uma expressão geral para aceleração da partícula fluida na fresta
  3. Avaliar a aceleração máxima
  4. Obter uma expressão para o gradiente de pressão ∂ p / ∂ x e esboçar a distribuição
  5. Orientar a força resultante da pressão no esboço
  6. Estimar a massa por unidade de comprimento, usando q = 0,06   m 3 / s / m 2

Parece muita coisa, mas calma! Vamos resolver rapidinho.

Primeiro vamos assumir que nosso fluido é estacionário, incompressível, sem atrito e uniforme na superfície porosa da fresta e que não há escoamento na direção z (como diz a questão). Então vamos aplicar a equação da continuidade para esse volume de controle:

∇ ∙ ρ V → + ∂ ρ ∂ t = 0

Como ∂ ρ ∂ t = 0 , temos:

0 = - ρ q L x + ρ U h L

ρ q L x = ρ U h L

Cortando ρ e L dos dois lados e rearranjando:

U = q x L

Passo 2

Encontrando agora uma expressão geral para a aceleração da partícula fluida na fresta, vamos utilizar a equação de Euler na forma:

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como o escoamento é bidimensional e estacionário, w = 0 e ∂ V → ∂ t = 0 , temos:

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Usando a equação da continuidade, para esse escoamento nós temos:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Substituindo o valor de u que a questão nos dá:

∂ ∂ x q x h + ∂ v ∂ y = 0

q h + ∂ v ∂ y = 0

∂ v ∂ y = - q h

Para encontrar essa componente v do campo de velocidade, vamos integrar a expressão:

∫ v 0 v d v = - q h ∫ 0 y d y

→           v - v 0 = - q y h

Como v 0 = q , podemos escrever:

v - q = - q y h

v = q 1 - y h

Então, voltamos a equação da aceleração em x e y , substituindo as expressões encontradas:

a p x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = q x h ∂ ∂ x q x h + q 1 - y h ∂ ∂ y q x h  

a p x = q x 2 h 2  

a p y = u ∂ v ∂ x + v ∂ u ∂ y = q x h ∂ ∂ x q 1 - y h + q 1 - y h ∂ ∂ y q 1 - y h

a p y = q 1 - y h - q h

a p y = q 2 h y h - 1

A expressão geral para a aceleração será então:

a → p = q 2 h 2 x i ^ + q 2 h y h - 1 j ^

Passo 3

Podemos avaliar a aceleração máxima, calculando a magnitude do vetor aceleração (o módulo do vetor):

a → p = q 2 h x h 2 + y h - 1 2 1 2

A velocidade máxima será dada quando x for o maior valor, nesse caso isso acontece quando x = b / 2 e y = 0 .

a → p M á x = q 2 h b 2 h 2 + 1 1 / 2

Substituindo os valores b = 20   m m , h = 0,5 m m e q = 0,06 , temos:

a → p M á x = 144   m / s 2

Passo 4

Vamos agora obter uma expressão para o gradiente de pressão ∂ p / ∂ x , escrevendo a componente x da equação de Euler:

ρ a p x = ρ g x - ∂ p ∂ x

Substituindo a x e sendo g x = 0 :

∂ p ∂ x = - ρ a p x

∂ p ∂ x = - ρ q 2 x h 2

Para obter a expressão da distribuição de pressão P ( x ) nós precisamos separar as variáveis e integrar e notar que P = P a t m em x = b / 2 . Então,

P - P a t m = ∫ b 2 x ∂ P ∂ x d x = - ∫ b 2 x ρ q 2 h 2 x = - ρ q 2 x 2 2 h 2 x b 2

P - P a t m = ρ q 2 2 h 2 b 2 2 - x 2 = ρ q 2 b 2 8 h 2 1 - 2 x b 2

P = P a t m + ρ q 2 b 2 8 h 2 1 - 2 x b 2

Passo 5

Esboçando a distribuição de pressão,

Note que a pressão no chip é maior que P a t m sobre toda a superfície do chip. Então a força de pressão líquida no chip é para cima.

Passo 6

Para estimar a massa por unidade de comprimento do chip, nós devemos determinar a força de pressão líquida no chip.

F l í q = ∫ P - P a t m d A = 2 ∫ 0 b / 2 ρ q 2 b 2 8 h 2 1 - 2 x b 2 L d x

F l í q = ρ q 2 b 2 L 8 h 2 x - 4 3 x 3 b 2 0 b 2 = ρ q 2 b 2 L 4 h 2 b 2 - 1 3 b 2

F l í q = ρ q 2 b 3 L 12 h 2

O peso do chip, W = m g , deve ser balanceado pela força líquida de pressão. Assim,

m g = F l í q = ρ q 2 b 3 L 12 h 2

m L = ρ q 2 b 3 L 12 h 2 g

Substituindo os valores, usando ρ = 1,23   k g / m 3 , b = 0,02 m , h = 0,0005 m , g = 9,81   m / s 2 e q = 0,06   m 3 / s / m 2 , temos:

m L = 1,23 0,06 2 0,02 3 12 0,0005 2 ( 9,81 )

m L = 1,20 × 10 - 3 k g / m

Resposta

U = q x L

a → p = q 2 h 2 x i ^ + q 2 h y h - 1 j ^

a → p M á x = q 2 h b 2 h 2 + 1 1 / 2

a → p M á x = 144   m / s 2

∂ p ∂ x = - ρ q 2 x h 2

P = P a t m + ρ q 2 b 2 8 h 2 1 - 2 x b 2

F l í q = ρ q 2 b 3 L 12 h 2

m L = 1,20 × 10 - 3 k g / m