Enunciado

Na ciência da engenharia, analogias entre fenômenos semelhantes são frequentemente aplicadas. Por exemplo, a diferença de pressão Δ p aplicada e a correspondente vazão Q em um tubo podem ser comparadas, respectivamente, com a tensão contínua V e a corrente contínua I através de um resistor elétrico. Por analogia, encontre a fórmula para a “resistência” do escoamento laminar do fluido de viscosidade μ em um tubo de comprimento L e diâmetro D , correspondendo à resistência elétrica R . Para um tubo de comprimento 250   m m e diâmetro 7,5   m m , encontre a os valores máximos da vazão e da diferença de pressão para que esta analogia funcione para ( a ) querosene e ( b ) óleo castor (ambos a 40 ° C ). Quando a vazão excede este máximo, porque a analogia falha?

Passo 1

Primeiramente precisamos reunir aqui, alguns dados que podemos tirar da figura A.2 e da tabela A.2 (Fox - Mecânica dos Fluidos - 8°Ed.):

Q u e r o s e n e :   μ = 1.1 × 10 - 3   N ∙ s m 2               ρ = 0,82 × 990 k g m 3 = 812   k g m 3

Ó l e o   c a s t o r : μ = 0,25   N ∙ s m 2               ρ = 2,11 × 990 k g m 3 = 2090   k g m 3  

Passo 2

Agora devemos separar duas equações que iremos precisar aqui, uma delas é referente a um resistor elétrico, ou seja:

V = R ∙ I

A outra é a equação governante para a vazão do fluxo laminar em um tubo, que pode ser expressa por:

Q = π ∆ p D 4 128 μ L

Ou

∆ p = 128 μ L π D 4 Q

Passo 3

Por analogia, a corrente I é representada pela vazão Q e a tensão V pela queda de pressão ∆p. Isso podemos tirar comparando as duas equações apresentadas no passo 2.

Portanto a "resistência" do tubo é expressa como sendo:

R = 128 μ L π D 4

Note que a "resistência" de um tubo é diretamente proporcional à viscosidade do fluido e ao comprimento do tubo, e fortemente dependente do inverso do diâmetro.

Passo 4

Feito isso, realizando uma analogia:

R e < 2300

ρ V D μ < 2300

Escrevendo essa restrição em termos de taxa de fluxo:

ρ Q π 4 D 2 D μ < 2300

Q m á x = 2300 μ π D 4 ρ

O gradiente de pressão máxima correspondente é então obtido...

∆ p m á x = 128 μ L π D 4 Q m á x = 32 ∙ 2300 μ 2 L ρ D 3

Passo 5

Portanto substituindo os valores, temos:

a   P a r a   Q u e r o s e n e :

Q m á x = 1,84 × 10 - 5 m 3 s               ∆ p m á x = 65   P a

b   P a r a   Ó l e o   c a s t o r :

Q m á x = 1 , 62 × 10 - 3 m 3 s               ∆ p m á x = 1,30   M P a

A analogia falha quando Re> 2300 porque o fluxo se torna turbulento, e a "resistência" ao fluxo não é mais linear com a vazão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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