Enunciado

Começando com balanço de energia em elemento de volume, obtenha a equação de diferenças finitas permanente tridimensional para nó geral interno em coordenadas retangulares para T ( x ,   y ,   z ) para o caso de condutividade térmica constante e geração de calor uniforme.

Passo 1

Se considerarmos um elemento de volume de tamanho ∆ x ∆ y ∆ z , com seu centro definido em coordenadas retangulares posicionado em ( m ,   n ,   r ) , uma região onde há uma geração de calor constante e 0 ˙ , com condutividade térmica k variável, tridimensionalmente, o balanço de energia no elemento de volume pode ser expresso como:

∑ Q ˙ c o n d + E ˙ g e r a d a =   ∆ E e l e m e n t o ∆ t = 0

Onde a condução pode vir por 6 direções diferentes, em cada sentido definido na coordenada retangular, e supondo que o caso estudado seja estável.

Passo 2

Agora, suponhamos que a temperatura varie linearmente entre os nós em sequência. Sabendo que o fluxo condutivo de calor segue a Lei de Fourier, o balanço ficará da seguinte forma:

k ∆ y   × ∆ z T m - 1 ,   n .   r - T m ,   n ,   r ∆ x +   k ∆ x   × ∆ z T m ,   n + 1 .   r - T m ,   n ,   r ∆ y + k ∆ y   × ∆ z T m + 1 ,   n .   r - T m ,   n ,   r ∆ x + k ∆ x   × ∆ z T m ,   n - 1 .   r - T m ,   n ,   r ∆ y +   k ∆ x   × ∆ y T m ,   n .   r - 1 - T m ,   n ,   r ∆ z + k ∆ x   × ∆ y T m ,   n .   r + 1 - T m ,   n ,   r ∆ z + e ˙ 0 ∆ x   × ∆ y   × ∆ z = 0

E após dividir cada termo por k ( ∆ x   × ∆ y   × ∆ z ) e fazer as devidas simplificações, obtém-se:

T m - 1 ,   n ,   r -   2 T m , n , r +   T m + 1 , n , r ∆ x 2 +   T m ,   n - 1 ,   r -   2 T m , n , r +   T m , n + 1 , r ∆ y 2 +   T m ,   n ,   r - 1 -   2 T m , n , r +   T m , n , r + 1 ∆ z 2 +   e ˙ 0 k = 0

Passo 3

Então, se imaginarmos uma malha cúbica, definindo os elementos ∆ x = ∆ y = ∆ z = L , a relação pode ser simplificada, multiplicando-se todos os termos por L 2 , e obtém-se:

T m - 1 , n , r + T m + 1 , n , r + T m , n - 1 , r + T m , n + 1 , r + T m , n , r - 1 + T m , n , r + 1 - 6 T m , n , r +   e ˙ 0 L 2 k = 0

Onde existe a representação da temperatura nas 6 direções de um cubo e a temperatura no nó central desse cubo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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