A componente y da velocidade em um campo de escoamento em um campo de velocidade permanente e incompressível, no plano x y , é v = A x y ( y 2 - x 2 ) , onde A = 2   m - 3 ∙ s - 1 e x e y são medidos em metros. Determine a mais simples componente x da velocidade para esse campo de escoamento.

Passo 1

Olá, tudo bem? Ficou com dúvida nesse exercício? Vem que eu te ajudo.

A questão nos deu a componente y de um campo de velocidade e pediu que a gente encontrasse a mais simples componente x para o fluido incompressível.

Certo, então precisamos assumir que a densidade do fluido ρ é constante e que ele está no plano-xy. Isso quer dizer que a equação da continuidade pode ser escrita como:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Queremos encontrar a componente x da velocidade, então vamos isolar esse termo:

∂ u ∂ x = - ∂ v ∂ y

A questão nos deu a equação da componente v , então vamos substituí-la:

∂ u ∂ x = - ∂ v ∂ y           →             ∂ u ∂ x = - ∂ ∂ y A x y ( y 2 - x 2 )

Derivando em relação a y :

∂ u ∂ x = - A x y 2 - x 3

Encontramos a componente y em sua forma diferencial, então vamos integrar dos dois lados.

Passo 3

Integrando ∫ d u = - ∫ A x y 2 - x 3 d x

→               u x , y = - ∫ A x y 2 - x 3 d x

u x , y = - 3 2 A x 2 y 2 + 1 4 A x 4 + f ( y )

Esta equação básica é válida para o escoamento permanente e não permanente, já que o tempo t é não explícito.

Passo 4

Como f ( y ) pode ser qualquer função de y , existe um número infinito de soluções e consequentemente de componentes de x . O caso mais simples seria em que f y = 0 , então

u x , y = A x 4 4 - 3 x 2 y 2 2

Substituindo os dados da questão A = 2   m - 3 ∙ s - 1 , temos:

u x , y = x 4 2 - 3 x 2 y 2

Resposta

u x , y = x 4 2 - 3 x 2 y 2