Enunciado

Os componentes do vetor velocidade de um escoamento nas direções x e y são, respectivamente, u=c(x2-y2) e v=-2cxy, onde c é uma constante. Mostre que a equação das linhas de corrente é igual a x2y-y3/3=constante. Em que ponto ou pontos o escoamento é paralelo ao eixo X? Existem pontos de estagnação neste escoamento?

Passo 1

Opa galerinha boa, como vocês tão? Certinho? Pois bora pra questão! Temos que as linhas são dadas por uma função

y = f ( x )

Que são da forma

d y d x = v u

Passo 2

Agora que a gente tem as cartas na mesa, bora organizar as coisas e encontrar o que a questão nos pede! Saca só: A gente sabe que a velocidade pra esse caso é dada por:

V = u 2 + v 2 + w 2

Então é só a gente aplicar para os dois casos que a questão deu pra gente, que é origem e no eixo y . Se liga no próximo passo!

Passo 3

Agora vamos jogar na fórmula os versores de direção dentro da formula da velocidade. Para a origem:

V = u 2 + v 2 + w 2 = 3 y + 2 2 + x - 8 2 + 5 z 2

Porém, x = y = z = 0 . Aí fica tranquilo, concorda comigo? Porque fica assim:

V = 3 ⋅ 0 + 2 2 + 0 - 8 2 + 5 ⋅ 0 2

Logo:

V = 2 2 + - 8 2 = 8,25   m / s

Passo 4

Para o caso do eixo y , é o mesmo conceito! Se liga:

x = z = 0

Logo:

V = 3 y + 2 2 + - 8 2 = 9 y 2 + 12 y + 86     m / s

E é isso! Pode parecer impossível no começo mas no desenvolvimento a gente vê que é simples 😊 Até a próxima questão, meus bacanos

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