Ar, na condição padrão, escoa ao longo de uma placa plana. A velocidade da corrente livre, não perturbada, é U 0 = 30   f t / s . Em L = 6   i n , a jusante da borda de ataque da placa, a espessura da camada limite é δ = 0,1   i n . O perfil de velocidade nesse local é

u U 0 = 3 y 2 δ = - 1 2 y δ 3

Calcule a componente horizontal da força por unidade de largura requerida para manter a placa estacionária.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos deu um escoamento com velocidade U 0 = 30   f t / s na camada limite com L = 6   i n e δ = 0,1   i n . Ela nos deu também o perfil de velocidades e pediu a força na placa por unidade de comprimento.

Para isso, vamos usar a equação da continuidade e quantidade de movimento na direção x :

∂ ∂ t ∫ ρ d V + ∫ ρ V → ∙ d A → = 0

E

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ u ρ d V + ∫ u ρ V → ∙ d A →

Passo 2

Da equação da continuidade, temos:

- ρ U 0 w δ + m ˙ b c + ∫ 0 δ ρ u w d y = 0

Onde m ˙ b c é o fluxo mássico escoando por b c (na figura).

Assim,

m ˙ b c = ∫ 0 δ ρ U 0 - u w d y

Passo 3

Agora pela equação da quantidade de movimento em x , temos que a força de arrasto é dada por:

- F f = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ∫ 0 δ ρ u w d y

= ∫ 0 δ - U 0 2 + u 2 + U 0 U 0 - u ∙ w d y

Então, a força de arrasto é

F f = ∫ 0 δ ρ u U 0 - u ∙ w d y = ∫ 0 δ ρ U 0 2 u U 0 1 - u U 0 d y

Passo 4

O enunciado nos deu o perfil de velocidades

u U 0 = 3 y 2 δ = - 1 2 y δ 3

Vamos chamar y = δ ∙ η . Assim,

u U 0 = 3 2 η - 1 2 η 3

Substituindo na equação da força de arrasto por unidade de comprimento, conforme o passo 3, temos:

F f w = ∫ 0 η = 1 ρ U 0 2 δ u U 0 1 - u U 0 d η

Substituindo o perfil de velocidades:

F f w = ρ U 0 2 δ ∫ 0 1 3 2 η - 9 4 η 2 - 1 2 η 3 + 3 2 η 4 - 1 4 η 6 d η

F f w = ρ U 0 2 δ = 3 4 - 3 4 - 1 8 + 3 10 - 1 28 = 0,139 ρ U 0 2 δ

Assim, usando o valor da densidade atmosférica padrão e fazendo as conversões de unidade, temos:

F f w = 0,139 × 0,002377 s l u g f t 3 × 30 ∙ f t s 2 × 0,1 12 f t × l b f ∙ s 2 s l u g ∙ f t

F f w = 2,48 ∙ 10 - 3   l b f / f t

Resposta

2,48 ∙ 10 - 3   l b f / f t