Enunciado

Considere o canal em forma de V da Figura PA10.7, com um ângulo arbitrário θ. Faça uma análise da continuidade e da quantidade de movimento para uma pequena perturbação δy

que a velocidade de propagação da onda nesse canal é independente de θ, e não é igual ao resultado c0 = (gy)1/2 de canal largo.

Passo 1

Nessa questão, vamos usar uma abordagem igual àquela utilizada na seção “Velocidade da onda de superfície”, demonstrada na página 709.

Primeiro, nós temos que considerar uma perturbação de altura δ y ≪ y e velocidade c , como demonstra a imagem abaixo:

Note que a largura da superfície livre do canal é b = y cot ⁡ θ . Além disso, perceba que a velocidade de saída no nosso volume de controle é uma velocidade c - δ V qualquer.

Em seguida, vamos utilizar a equação da continuidade pra fazer o seguinte balanço:

ρ c y 2 cot ⁡ θ = ρ c - δ V y + δ y 2 cot ⁡ θ

Reorganizando a equação, a gente chega à seguinte expressão pra δ V :

δ V = c 2 y δ y + δ y 2 y 2 + 2 y δ y + δ y 2

Agora, vamos expressar a relação de quantidade de movimento como um balanço entre a força líquida de pressão hidrostática e o fluxo líquido de quantidade de movimento:

1 3 ρ g y y 2 cot ⁡ θ - 1 3 ρ g y + δ y y + δ y 2 cot ⁡ θ = ρ g y 2 cot ⁡ θ ( c - c - δ V )

Note que o termo de 1 3 no lado esquerdo do balanço de forças indica o centroide do triângulo, pois a força hidrostática está aplicada bem no centro da geometria.

Reorganizando toda essa equação e substituindo δ V da equação da continuidade que a gente calculou lá em cima, a gente obtém:

c =   g y 2

Que é diferente do valor c 0 = g y obtido na dedução feita pelo livro.

Resposta

A velocidade de propagação da onda nesse canal é c =   g y 2

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