Considere a ciclista do Problema 9.99. Ela está tendo um dia ruim, porque ela tem que subir uma ladeira com uma inclinação de 5∘. Qual é a velocidade que ela é capaz de atingir? Qual é a velocidade máxima se houver também um vento contrário de 10km/h? Ela chega ao topo da colina, se vira e desce a colina. Se ela ainda pedalar o mais forte possível, qual será sua velocidade máxima (quando estiver calmo e quando o vento estiver presente)? Qual será sua velocidade máxima se ela decidir descer a colina (com e sem a ajuda do vento)?

Passo 1

Dado: Dados sobre o desempenho do ciclista em um dia calmo

Encontrar: Desempenho em uma colina com e sem vento

Os dados fornecidos ou dados disponíveis são:

F R = 7.5 ⋅ N M = 65 ⋅ k g A = 0.25 ⋅ m 2

C D = 1 2 ρ = 1.23 ⋅ k g m 3 V = 30 ⋅ k m h r

A equação governante é F D = 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V 2 ⋅ C D F D = 12.8 N

Potência A potência estável gerada pelo ciclista é P = F D + F R ⋅ V P = 169 W

P = 0.227 ⋅ h p

Subindo a colina (sem vento) θ = 5 ⋅ d e g

Passo 2

Para velocidade constante, a potência do ciclista é consumida trabalhando contra a força resultante (resistência ao rolamento, arrasto e gravidade)

Subindo o morro de bicicleta P = F R + 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V 2 ⋅ C D + M ⋅ g ⋅ s i n ⁡ ( θ ) ⋅ V

Esta é uma equação cúbica para a velocidade que pode ser resolvida analiticamente, ou por iteração, ou usando Excels Goal Seek ou Solver. A solução é obtida da pasta de trabalho do Excel associada

Para resolver V = 9.47 ⋅ k m h r

Agora com um vento contrário V w = 10 ⋅ k m h r

O arrasto aerodinâmico é maior devido à maior velocidade efetiva do vento

F D = 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V + V w 2 ⋅ C D

Passo 3

A potência necessária é aquela necessária para superar a força total (resistência ao rolamento, arrasto e gravidade) movendo-se na velocidade do ciclista é

Subindo contra o vento: P = F R + 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V + V w 2 ⋅ C D + M ⋅ g ⋅ sin ⁡ θ ⋅ V

Esta é novamente uma equação cúbica para V

Para resolver V = 8.94 ⋅ k m h r

Pedalar em declive (sem vento) a gravidade ajuda a aumentar a velocidade; a velocidade máxima é obtida de

Descendo o morro de bicicleta: P = F R + 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V 2 ⋅ C D - M ⋅ g ⋅ s i n ⁡ ( θ ) ⋅ V

Esta equação cúbica para V é resolvida na pasta de trabalho do Excel associada

Para resolver V = 73.0 ⋅ k m h r

Em declive livre, a velocidade máxima é obtida pelo fato de que a força resultante é zero

Em declive livre F R + 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V 2 ⋅ C D - M ⋅ g ⋅ s i n ⁡ ( θ ) = 0

V = M ⋅ g ⋅ s i n ⁡ ( θ ) - F R 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ C D V = 58.1 ⋅ k m h r

Assistido pelo vento F R + 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V - V w 2 ⋅ C D - M ⋅ g ⋅ s i n ⁡ ( θ ) = 0

V = V w + M ⋅ g ⋅ s i n ⁡ ( θ ) - F R 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ C D V = 68.1 ⋅ k m h r

Resposta

V = 68.1 ⋅ k m h r