Enunciado

Considere uma pá defletora simples, com curvatura θ , movendo-se horizontalmente com velocidade constante, u , sob a ação de um jato impingente como no Problema 4.128. A velocidade absoluta do jato é v . Obtenha expressões gerais para a força resultante e para a potência que a pá poderia produzir. Mostre que a potência é maximizada quando u = v / 3 .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u );
  4. Escoamento Uniforme.

Passo 2

Pelas considerações feitas no Passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema, então F B x = 0 :

F S x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Sendo que:

F S x = R x

Então:

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

Desse modo, a força resultante se dá:

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

R x = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

Onde:

u 1 = v - u ;

u 2 = v - u cos ⁡ θ .

Então:

R x = - ρ v - u 2 A + ρ v - u 2 cos ⁡ θ A

R x = ρ v - u 2 A ( cos ⁡ θ - 1 )

Passo 4

A fórmula de potência se dá:

W = F x ⋅ u

Substituindo:

F x = R x = ρ v - u 2 A ( cos ⁡ θ - 1 )

Temos a potência da pá:

W = ρ v - u 2 A u ( cos ⁡ θ - 1 )

Passo 5

Para obtermos a potência máxima, devemos igualar a derivada da potência em relação a velocidade u à zero.

d W d u = 0

Assim:

d d u ρ v - u 2 A u ( cos ⁡ θ - 1 ) = 0

A ρ cos ⁡ θ - 1 d d u   u v - u 2 = 0

d d u   u v - u 2 = 0

Derivando a expressão acima, obtemos:

1 ⋅ v - u 2 + 2 ⋅ - 1 ⋅ v - u ⋅ u = 0

Ajeitando a equação, obtemos a velocidade u para maximizar a potência:

v - u 2 - 2 ⋅ v - u ⋅ u = 0

v - u ⋅ v - u - 2 u = 0

v - u - 2 u = 0

v - 3 u = 0

u = v 3

Resposta

R x = ρ v - u 2 A ( cos ⁡ θ - 1 )

W = ρ v - u 2 A u ( cos ⁡ θ - 1 )

u = v 3

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