Considere o elemento fluido que possui dimensões em coordenadas polares conforme mostra a figura e cujas fronteiras são definidas pelas linhas de corrente com velocidades v e v + d v . Mostre que a velocidade para o escoamento é dada por ζ = - v / r + d v / r .

Passo 1

Pessoal, consideramos o fluido ideal e estacionário. Podemos determinar a circulação do fluido ao redor do elemento A B C D através da equação:

Γ = ∮ V ∙ d s

Assim,

= v S A B + v + d v - S S D

= v r ∆ θ + v + d v - r + d r ∆ θ

= - v d r ∆ θ - r d v ∆ θ - d v d r ∆ θ

Ignorando os termos de segunda ordem, temos

Γ = - v d r ∆ θ - r d v ∆ θ

= - ∆ θ ( v d r + r d v )

A área do elemento, ignorando os termos de segunda ordem, é:

A = r ∆ θ d r

Então, o vórtice é

ζ = Γ A = - ∆ θ ( v d r + r d v ) r ∆ θ d r

= - v r + d v d r

Que é o que nós queríamos demonstrar.

Resposta

ζ = - v r + d v r