Enunciado

Considere o escoamento de Couette e um fluido com viscosidade de μ = 0,8 N.s/m2 e condutividade térmica de k f = 0,145 W/m.K. A placa inferior é estacionária e feita de material de condutividade térmica de k p = 1,5 W/m.K, espessura b = 3 mm. Sua superfície externa é mantida a T w = 50°C. A placa superior está isolada e se move a uma velocidade uniforme V = 7 m/s. A distância entre as placas é L = 5 mm.

(a) Esboce a distribuição de temperatura T ( y ) no fluido e na placa estacionária.

(b) Determine a função distribuição de temperatura T ( y ) no fluido ( 0 < y < L ) .

(c) Calcule a temperatura máxima do fluido, bem como a temperatura do fluido nas superfícies de contato com as placas inferior e superior.

Passo 1

No item (a) o exercício nos pede apenas para esboçar o perfil de distribuição de temperatura. Sabemos que o fluido está se movendo de acordo com um perfil de velocidade. Então, para o fluido a transferência de calor ocorre por dois mecanismos: condução e convecção. Em termos gerais, como existe convecção espera-se que a distribuição de temperatura do fluido siga um perfil quadrático, ou seja:

T y = A y 2 + B y + C

E para a placa estacionária, como só ocorre convecção espera-se que a distribuição de temperatura siga um perfil linear da forma:

T y = A y + B

O esboço dos perfis ficaria como algo do tipo:

Passo 2

Agora no item (b) temos que encontrar o perfil de temperatura no fluido e, (esperamos) comprovar que realmente é um perfil quadrático.

Para encontrar o perfil de temperatura precisaremos resolver as equações da continuidade, quantidade de movimento e energia para o sistema. Vamos lá?

Para o escoamento entre duas placas planas paralelas, a equação da continuidade é dada por:

δ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Em que u é a velocidade do fluido na direção x e v é a velocidade do fluido na direção y .

Como o fluido escoa apenas na direção x , v = 0 . Então:

δ u ∂ x = 0

u = u ( y )

O próximo passo é desenvolver a equação da quantidade de movimento:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u d y = μ   ∂ 2 u ∂ y 2 - ∂ P ∂ x

Como vimos anteriormente v = 0 e δ u ∂ x = 0 ; além disso, como a movimentação do fluido ocorre devido ao movimento da placa, e não devido a diferença de pressão, então ∂ P ∂ x = 0 .

Portanto:

∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Integrando em y:

∫ ∂ 2 u ∂ y 2 d y = ∫ 0 d y

∂ u ∂ y = C 1

Integrando novamente:

∫ ∂ u ∂ y d y = ∫ C 1 d y

u = C 1 y + C 2

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes C 1 e C 2 . Para a velocidade u ( y ) as condições de contorno são:

u 0 = V

u L = 0

Em que L é o espaçamento entre as placas. Nosso sistema de equações fica:

V = C 1 x 0 + C 2 → C 2 = V

0 = C 1 x L + C 2   → C 1 = - V L

O perfil de velocidade é:

u y = V - V y L

u y = V 1 - y L

Vamos agora resolver a equação da energia. Para o escoamento entre duas placas planas paralelas a equação é:

ρ c p μ ∂ T ∂ x + v ∂ T ∂ y = k   ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

Como v = 0 e só ocorre transferência de calor na direção y :

∂ T ∂ x = 0

v ∂ T ∂ y = 0

∂ 2 T ∂ x 2 = 0

Portanto ficamos com:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ( 2 ∂ u ∂ x 2 + ∂ v ∂ y 2 + ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x 2

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ∂ u ∂ y 2

Temos condições de calcular ∂ u ∂ y :

∂ u ∂ y = ∂ ∂ y V 1 - y L

∂ u ∂ y = - V L

Substituindo no balanço de energia:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ - V L 2

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ V 2 L 2

∂ 2 T ∂ y 2 = -   μ V 2 k L 2

Integrando em y :

∫ ∂ 2 T ∂ y 2 d y = - ∫ μ V 2 k L 2 d y

∂ T ∂ y = -   μ V 2 k L 2 y + C 1

Integrando em y mais uma vez:

∫ ∂ T ∂ y d y = ∫ ( - μ V 2 k L 2 y + C 1 ) d y

T y = - μ V 2 2 k L 2 y 2   + C 1 y + C 2

As condições de contorno são:

T L = 50 ° C

q ˙ y = 0 = - k ∂ T ∂ y y = 0 = 0

A primeira se refere à temperatura da placa estacionária e a segunda condição é que o fluxo de calor pela placa superior é zero, já que ela está isolada. Aplicando as condições de contorno:

∂ T ∂ y = -   μ V 2 k L 2 y + C 1

- k ∂ T ∂ y y = 0 = 0

∂ T ∂ y y = 0 = 0 = -   μ V 2 k L 2 x 0 + C 1 → C 1 = 0

50 ° C = - μ V 2 2 k L 2 x L 2   + C 1 x L + C 2 → C 2 = 50 ° C + μ V 2 2 k L 2 x L 2  

Substituindo as constantes C 1 e C 2 no perfil de temperatura:

T y = 50 ° C + μ V 2 2 k L 2 x L 2   - μ V 2 2 k L 2 y 2  

T y = 50 ° C + μ V 2 2 k L 2 L 2 - y 2

Como esperado encontramos umperfil de temperatura quadrático para o fluido.

Passo 3

O item (c) nos pede para encontrar a temperatura máxima e as temperaturas em y = 0 e y = L . Com o perfil de temperatura em mãos podemos calcular o ponto de máxima temperatura. Uma breve lembrança dos tempos de cálculo: pontos de máximo ou mínimo de uma função f ( y ) são pontos em que a derivada ∂ f ∂ y = 0 . Então, o que vamos fazer é derivar T ( y ) em relação a y e igualar a zero.

∂ T ∂ y = ∂ ∂ y 50 ° C + μ V 2 2 k L 2 L 2 - y 2 = 0

μ V 2 2 k L 2 - 2 y = 0

y = 0

Encontramos a posição y em que ocorre a temperatura máxima. Vamos agora aplicar este ponto no perfil de temperatura para encontrar a temperatura máxima do sistema:

T y = 50 ° C + μ V 2 2 k L 2 L 2 - y 2

T 0 = 50 ° C + μ V 2 2 k L 2 L 2 - 0 2

T 0 = 50 ° C + μ V 2 2 k L 2 L 2

T 0 = 50 ° C + μ V 2 2 k

T 0 = 50 ° C + 0,8 7 2 2 x 0,145

T 0 = 185,2 ° C

Para encontrar a temperatura em y = L basta substituir no perfil de temperatura. Então:

T y = 50 ° C + μ V 2 2 k L 2 L 2 - y 2

T L = 50 ° C + μ V 2 2 k L 2 L 2 - L 2

T L = 50 ° C + μ V 2 2 k L 2 0

T L = 50 ° C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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