Enunciado

Considere o escoamento de gás através de um bocal convergente com condições de entrada especificadas. Sabemos que a velocidade mais alta que o fluido pode atingir na saída do bocal é a velocidade sônica, ponto em que a vazão em massa através do bocal é máxima. Se fosse possível atingir velocidades hipersônicas na saída do bocal, como isso afetaria a vazão em massa através do bocal?

Passo 1

O problema quer saber o que aconteceria com a vazão mássica m ˙ do escoamento através de um bocal se a gente pudesse aumentar a velocidade do fluido na saída do bocal acima da velocidade do som c . Em outras palavras, a questão quer saber o que aconteceia com m ˙ se aumentássemos muito M a M a ⟶ ∞ . A imagem abaixo mostra o bocal.

A imagem acima mostra que consideramos a velocidade de entrada do fluido no bocal aproximadamente nula. Substituindo essa informação (de V ≈ 0 ) nas fórmulas de pressão de estagnação P 0 e temperatura de estagnação T 0 , achamos que:

P 0 = P + ρ V 2 2     ⟹     P 0 = P + ρ 0 2 2     ⟹     P 0 = P

T 0 = T + V 2 2 ⋅ c p       ⟹       T 0 = T + 0 2 2 ⋅ c p       ⟹       T 0 = T

Isso significa que a pressão P do fluido na entrada é igual à pressão de estagnação P 0 e que a temperatura T do fluido é igual à temperatura de estagnação T 0 .

No próximo passo vamos começar a descobrir o que acontece com m ˙ , quando aumentamos M a , mantendo P 0 e T 0 constantes.

Passo 2

A pergunta que o enunciado nos faz é: qual é o limite de m ˙ se fizermos M a tender ao infinito, mantendo a pressão de estagnação P 0 e a temperatura de estagnação T 0   constantes? Em outras palavras esse é um problema de limite!

lim Ma → ∞ ⁡ m ˙

Para responder isso, temos que usar a equação da vazão mássica m ˙ através do bocal convergente em função do número de Mach M a (equação 12-24 do livro).

m ˙ = A ⋅ M a ⋅ P 0 ⋅ k R T 0 1 + k - 1 M a 2 2 k + 1 2 k - 1

onde A é a área da garganta do bocal, k é a razão de calores específicos do fluido e R é a constante de gás do fluido.

Substituindo essa expressão no limite, achamos:

lim Ma → ∞ ⁡ m ˙       ⟹       lim Ma → ∞ ⁡ A ⋅ M a ⋅ P 0 ⋅ k R T 0 1 + k - 1 M a 2 2 k + 1 2 k - 1

Passo 3

Podemos notar olhando para o limite que o número de Mach M a está presente tanto no numerador quanto no denominador. Isso significa que, a primeira vista, esse limite leva a uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , porque tanto o numerador quanto o numerador tendem ao infinito, quando M a tende ao infinito

lim Ma → ∞ ⁡ m ˙ = lim Ma → ∞ ⁡ A ⋅ M a ⋅ P 0 ⋅ k R T 0 1 + k - 1 M a 2 2 k + 1 2 k - 1       ⟹       lim Ma → ∞ ⁡ m ˙ = ∞ ∞

Como essa indeterminação aparece nesse limite, podemos aplicar a Regra de l’Hôpital e achar esse limite derivando o numerador e o denominador em relação a M a .

lim Ma → ∞ ⁡ m ˙ = lim Ma → ∞ ⁡ d A ⋅ M a ⋅ P 0 ⋅ k R T 0 d M a d 1 + k - 1 M a 2 2 k + 1 2 k - 1 d M a

d A ⋅ M a ⋅ P 0 ⋅ k R T 0 d M a = A ⋅ P 0 ⋅ k R T 0

d 1 + k - 1 M a 2 2 k + 1 2 k - 1 d M a = k + 1 2 k - 1 1 + k - 1 M a 2 2 k + 1 2 k - 1 - 1 ⋅ M a ⋅ k - 1

Substuindo as derivadas no limite, ele se torna:

lim Ma → ∞ ⁡ m ˙ = A ⋅ P 0 ⋅ k R T 0 k + 1 2 k - 1 1 + k - 1 M a 2 2 k + 1 2 k - 1 - 1 ⋅ M a ⋅ k - 1

Agora só tem M a no denominador. Como M a tende ao infinito, essa divisão tente a zero. Logo, o limite tende a zero.

lim Ma → ∞ ⁡ m ˙ = 0

Em outras palavras, se a velocidade do fluido que está saindo do bocal crescer para além da velocidade do som c , a vazão mássica m ˙ diminui e no caso limite M a ⟶ ∞ (quando a velocidade do lfuido cresce muito), m ˙ tende a zero!

Resposta

Se a velocidade do fluido que está saindo do bocal crescer para além da velocidade do som c , a vazão mássica m ˙ diminui e no caso limite M a ⟶ ∞ (quando a velocidade do lfuido cresce muito), m ˙ tende a zero!

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