Enunciado

Considere uma esfera lisa, de diâmetro D, imersa em um fluido movendo com velocidade V. A força de arrasto sobre um balão meteorológico com 3 m de diâmetro, movendo no ar a 1,5 m/s, deve ser calculada partindo de dados de teste. O teste deve ser realizado na água, usando um modelo com 50 mm de diâmetro. Sob condições de semelhança dinâmica, a força de arrasto sobre o modelo é medida como 3,8 N. Avalie a velocidade de teste do modelo e a força de arrasto esperada sobre o balão em escala natural

Passo 1

Vamos lá! A gente quer a velocidade de teste V m e a força de arrasto para o protótipo!

Podemos escrever a força de arrasto como função dos seguintes parâmetros relevantes:

F = f ( ρ , V , D , υ , c )

Pelo análise dimensional, temos as seguintes relações adimensionais:

F ρ D 2 V 2 = f υ V D , V c

Ou:

F ρ D 2 V 2 = f ( R e ,   M a )

Com base na similaridade e usando essas relações, podemos achar as informações que queremos!

Passo 2

Podemos dizer que:

R e m = R e p

Logo:

V m D m υ m = V p D p υ p

Isolando V m :

V m = V p × D p D m × υ m υ p

O enunciado nos da:

V p = 1 ,   5   m / s

D p = 50   m m = 0,050   m

D m = 3   m

O enunciado não diz a qual temperatura esses eventos acontecem, maaas como o balão meterológico esta sempre em temperatura ambinete, vamos constiderar T = 20 ℃ . Podemos consultar a viscosidade cinemática pra a água (modelo) e para o ar (protótipo) nessa condição:

υ p = υ a r = 1,45 × 10 - 5   m 2 / s

υ m = υ á g u a = 1,14 × 10 - 6   m 2 / s

Substituindo os valores:

V m = 1,5 × 3 0,050 × 1,14 × 10 - 6 1,45 × 10 - 5

Achamos:

V m = 7   m / s

Passo 3

Agora vamos atrás da força de arrasto no balão meterológico:

F p ρ p D p 2 V p 2 = F m ρ m D m 2 V m 2

Isolando F p :

F p = F m × ρ p ρ m × D p D m 2 V p V m 2

O enunciado da F m = 3,8   N :

F p = 3,8 × 1,21 999 × 3 0,050 2 1,5 7 2

Calculando:

F p = 0,76   N

Resposta

V m = 7   m / s

F p = 0,76   N

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