Enunciado

Considere uma transferência de calor permanente bidimensional em uma longa barra sólida ( k = 25   W / m . K ) de seção transversal quadrada ( 2   c m   × 2   c m ), com calor gerado na barra de maneira uniforme a uma taxa de e ˙ = 3 × 10 6   W / m ³ . As superfícies da esquerda e inferior mantém temperatura constante de 200 ℃ . As superfícies inferior e direita são submetidas à convecção com temperatura do ar ambiente de 100 ℃ e coeficiente de transferência de calor de 250   W / m ² K . Usando um tamanho de malha uniforme ∆ x = ∆ y = 1 centímetro, determine (a) equações de diferenças finitas e (b) temperaturas nodais com método iterativo de Gauss-Seidel.

Passo 1

Primeiramente, iremos assumir algumas considerações para simplificar o problema. São elas:

  • Condução de calor é permanente e bidimensional.
  • Propriedades térmicas são constantes.
  • A geração de calor no corpo é uniforme.

De posse dessas características, podemos entender melhor o sistema com o qual a questão pretende trabalhar.

Passo 2

(a) Existe um eixo de simetria na diagonal que passa pelos nós 2 e 3 , então T 1 = T 4 . Dessa maneira, temos 3 temperaturas desconhecidas ( T 1 , T 2 e T 3 ) e precisaremos de 3 equações para encontra-las:

Nó 1: h ∆ x T ∞ - T 1 + k ∆ y 2 T 2 - T 1 ∆ x + k ∆ x T 3 - T 1 ∆ y + k ∆ y 2 200 - T 1 ∆ x +   e ˙ 1 ∆ x ∆ y 2 = 0

Nó 2: h ∆ x 2 + ∆ y 2 T ∞ - T 2 + k ∆ x 2 T 4 - T 2 ∆ y + k ∆ y 2 T 1 - T 2 ∆ x +   e ˙ 2 ∆ x 2 ∆ y 2 = 0

Nó 3: 200 - 2 T 3 + T 4 ∆ x ² + 200 - 2 T 3 + T 1 ∆ y ² + e ˙ m , n k = 0

E após explicitarmos as variáveis de interesse e substituirmos os dados fornecidos, temos:

Nó 1: T 1 = 200 + T 2 + 2 T 3 + 0,2 T ∞ + 12 4,2

Nó 2: T 2 = 2 T 1 + 0,2 T ∞ + 6 2,2

Nó 3: T 3 = 0,25 400 + 2 T 1 + 12

Passo 3

(b) O método de Gauss-Seidel necessita de chutas iniciais para cada uma das variáveis que estão sendo analisadas, e como temos 3 variáveis, deixaremos como chutes iniciais T 1 = T 2 = T 3 = 200 ℃ , e os resultados gerados pelas iterações estão listados abaixo:

E após a convergência, verifica-se que as temperaturas valem:

T 1 = T 4 = 196,4 ℃

T 2 = 190,3 ℃

T 3 = 201,2 ℃

Resposta

( b ) T 1 = T 4 = 196,4 ℃

T 2 = 190,3 ℃

T 3 = 201,2 ℃

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