Enunciado

Considere uma transferência de calor permanente bidimensional em um longo corpo sólido cuja seção transversal é dada na Fig. P5–56. As temperaturas dos nós selecionados e as condições térmicas nos contornos são mostradas. A condutividade térmica do corpo é k = 150 W m ∙ K e o calor é gerado no corpo uniformemente a uma taxa de e ˙ = 3 × 10 7 W m 3 . Usando o método das diferenças finitas com tamanho de malha de ∆ x = ∆ y = 10   c m , determine ( a ) as temperaturas dos nós 1, 2, 3 e 4 e ( b ) a taxa de perda de calor na superfície superior através da seção do corpo de 1   m de comprimento.

Passo 1

Expressando nossa equação de diferenças finitas para malha quadrada:

T e s q + T s u p + T d i r + T i n f - 4 T n ó + e ˙ 0 l 2 k n ó = 0

Utilizando-se da simetria da nossa geometria, T 1 = T 2 e T 3 = T 4

Passo 2

Logo precisamos somente de duas equações para encontrar nossas temperaturas. Sendo elas:

N ó   1 :

100 + 120 + T 2 + T 3 - 4 T 1 + e ˙ l 2 k = 0

N ó   3 :

150 + 200 + T 1 + T 4 - 4 T 3 + e ˙ l 2 k = 0

Passo 3

Utilizando de nossas igualdades, as equações se tornam:

220 + T 3 - 3 T 1 + 3 × 10 7 W m 3 0,1   m 2 150 W m ∙ K = 0

350 + T 1 - 3 T 3 + 3 × 10 7 W m 3 0,1   m 2 150 W m ∙ K = 0

Passo 4

Resolvendo as equações simultaneamente, as temperaturas são...

T 1 = T 2 = 1126 ° C

T 3 = T 4 = 1159 ° C

Passo 5

Podemos encontrar a taxa e transferência de calor superior com profundidade de 1   m , aplicando um balanço de energia:

Q ˙ s u p + e ˙ 0 0,3 × 1 × l 2 + 2 k l × 1 2 120 - 100 l + 2 k l × 1 T 1 - 100 l = 0

Q ˙ s u p = - 0,3 × 10 7 W m 3 0,3 × 0,1 2 m 3 - 2 150 W m ∙ K ( 1   m 2 ( 120 - 100 ) ℃ + ( 1   m ) ( 1126 - 100 ) ℃ )  

Q ˙ s u p = 760,9   W

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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