Enunciado

Considere a transferência de calor transiente bidimensional de uma barra sólida em forma de L   inicialmente a uma temperatura uniforme de 140   ° C , cuja seção transversal é dada na Fig. P5–99. A condutividade térmica e a difusividade do corpo são k = 15   W m ∙ K     e α = 3,2 × 10 - 6 m 2 s respectivamente, e o calor é gerado no corpo a uma taxa de e ˙ = 2 × 10 7 W m 3 . A superfície da direita do corpo é isolada, e a do inferior é mantida a uma temperatura uniforme de 140   ° C . No momento t = 0 , toda a superfície superior é submetida à convecção para o ar ambiente a     T ∞ = 25 ° C , com coeficiente de transferência de calor   h = 80 W m 2 ∙ K , e a superfície da esquerda é submetida a um fluxo de calor uniforme a uma taxa de q ˙ L = 8.000 W m 2 . A rede nodal dos problemas consiste de 13 nós igualmente espaçados com   ∆ x = ∆ y = 1,5   c m . Utilizando o método explícito, determine a temperatura no canto superior (nó 3) do corpo após 2,5   m i n e 30   m i n .

Passo 1

Do enunciado temos:

e ˙ 0 = 2 × 10 7 W m 3 ; q ˙ L = 8000 W m 2 ; L = 0,015   m ; k = 15 W m ∙ K ; h = 80 W m 2 ∙ K ; T ∞ = 25 ° C      

Note que todos os nós são nós de contorno e somente o nó 5 é nó interior.

O balanço de energia para o método explícito é expresso como:

∑ T o d o s   o s   l a d o s Q ˙ i + E ˙ e l e m e n t o i = ρ V e l e m e n t o c p T m i + 1 - T m i ∆ t

Passo 2

Aplicando o balanço de energia nos nós...

N ó   1 :

q ˙ L l 2 + h l 2 T ∞ - T 1 i + k l 2 T 2 i - T 1 i l + k l 2 T 4 i - T 1 i l + e ˙ 0 l 2 4 = ρ l 2 4 c T 1 i + 1 - T 1 i ∆ t

N ó   2 :

h l T ∞ - T 2 i + k l 2 T 1 i - T 2 i l + k l 2 T 3 i - T 2 i l + k l T 5 i - T 2 i l + e ˙ 0 l 2 2 = ρ l 2 2 c T 3 i + 1 - T 3 i ∆ t

N ó   3 :

h l T ∞ - T 3 i + k l 2 T 2 i - T 3 i l + k l 2 T 6 i - T 3 i l + e ˙ 0 l 2 4 = ρ l 2 4 c T 3 i + 1 - T 3 i ∆ t

N ó   4 :

q ˙ L l + k l 2 T 1 i - T 4 i l + k l 2 140 - T 4 i l + k l T 5 i - T 4 i l + e ˙ 0 l 2 2 = ρ l 2 2 c T 4 i + 1 - T 4 i ∆ t

N ó   5 :

T 5 i + 1 = 1 - 4 τ T 5 i + τ ( T 2 i + T 4 i + T 6 i + 140 + e ˙ 0 l 2 k )

N ó   6 :

h l T ∞ - T 6 i + k l 2 T 3 i - T 6 i l + k l T 5 i - T 6 i l + k l 140 - T 6 i l + k l 2 T 7 i - T 6 i l + e ˙ 0 3 l 2 4 = ρ 3 l 2 4 c T 6 i + 1 - T 6 i ∆ t

N ó   7 :

h l T ∞ - T 7 i + k l 2 T 6 i - T 7 i l + k l 2 T 8 i - T 7 i l + k l 140 - T 7 i l + e ˙ 0 l 2 2 = ρ l 2 2 c T 7 i + 1 - T 7 i ∆ t

N ó   8 :

h l 2 T ∞ - T 8 i + k l 2 T 7 i - T 8 i l + k l 2 140 - T 8 i l + e ˙ 0 l 2 4 = ρ l 2 4 c T 8 i + 1 - T 8 i ∆ t

Passo 3

Aplicando o critério de estabilidade para obtermos o passo de tempo ∆ t :

1 - 4 τ - 4 τ h l k ≥ 0

τ ≤ 1 4 1 + h ∆ x k

Note que...

τ = α ∆ t l 2

∆ t ≤ l 2 2 α 1 + h ∆ x k

Logo temos:

∆ t ≤ 0,015   m 2 4 3,2 × 10 - 6 m 2 s 1 + 80 W m 2 ∙ K 0,015   m 15 W m ∙ K = 16,3   s

Portanto deve ser escolhido um passo de tempo menor que 16,3   s . Sendo assim vamos escolher um passo de tempo de ∆ t = 15   s .

τ = α ∆ t ∆ x 2 = 3,2 × 10 - 6 m 2 s 15   s 0,015   m 2 = 0 , 2133

Passo 4

Resolvendo as equações com um auxílio de um computador para 2, 5 e 30 min encontraremos as temperaturas para nó 3 de 441 ° C ,   520 ° C e 529 ° C respectivamente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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